Jerarquía de operaciones

Muchas veces te habrás encontrado con ejercicios de jerarquía de operaciones donde hay muchas operaciones matemáticas involucradas y no sabes bien cómo resolverlas, incluso en las redes sociales abundan preguntas como

Algunas personas dicen que la respuesta es cero, otras dicen que es 30, pero la respuesta correcta es 39 y en esta página te enseñaremos cómo se resuelve.

¿Qué es la jerarquía de operaciones?

Se define a a jerarquía de operaciones en matemáticas como el orden en el que se deben realizar dichas operaciones de acuerdo con una serie de reglas establecidas.

¿Por qué es importante la jerarquía de operaciones?

Si no existiera un orden específico en la resolución de un problema sucedería lo que pasó en el ejemplo de la introducción 40×10-40/40, algunas personas pensarán que la respuesta del ejercicio es cero, otras que es 30 y otras 39 pero no se sabría quién tiene la razón.

Si esa operación matemática sirviera para calcular el pago que le deben hacer a un profesional por una hora de trabajo, algunos dirían que se le pagara cero dólares, otros 30 y lo justo sería pagarle 39 dólares, de ahí radica la importancia.

Toda la matemática es exacta de ahí que se requiere establecer el orden, o la jerarquía para la solución de las operaciones necesarias.

¿Cuáles son las reglas de la jerarquía de operaciones?

Como su nombre lo indica existe una jerarquía es decir operaciones más importantes que otras que se deben resolver primero, de la más importante a la menos importante tenemos:

Esto significa que:

• Las operaciones matemáticas se resuelven de izquierda a derecha.
• En caso de que hayan paréntesis o cualquier otro signo de agrupación como por ejemplo llaves, corchetes y otros se deben realizar primero esas operaciones.
• Luego se resuelven los exponentes en dado caso que hayan
• Después se resuelven las multiplicaciones y divisiones existentes
• Finalmente se resuelven las sumas y restas.

La sigla PEMDAS es una abreviación de Paréntesis, Exponentes, Multiplicación, División, Adición y Sustracción por lo que es posible que encuentres mucha información sobre jerarquía de operaciones a través del método PEMDAS.

¿Cuáles son los signos de agrupación en la jerarquía de operaciones?

Debido a la alta importancia que tienen en la jerarquía de operaciones es importante reconocerlos e identificar su influencia en la operación, estos son:

• Los paréntesis ()
• Los corchetes [ ]
• Las llaves {}

Cada vez que veamos uno de estos símbolos debemos reconocer que hay agrupación en las operaciones matemáticas.

Existen otros signos que también tienen una función de agrupación pero no el mismo orden jerárquico, estos son:

• La línea de fracción – o /
• Las barras verticales de los valores absolutos | |
• Las radicación o el símbolo de raíz √ 

Casos de jerarquía de operaciones

De acuerdo con la cantidad y variedad de operaciones se pueden presentar diferentes casos que presentaremos a continuación:

Sumas y restas sin signos de agrupación

En este caso aplica una de las primeras normas y es que las operaciones se resuelven de izquierda a derecha:

Ejemplo de sumas y restas sin signos de agrupación

7+4-8+6-2+10

Entonces resolviendo de izquierda a derecha se tiene que lo primero a resolver es

7+4=11

Por lo que ahora la operación queda escrita como:

11-8+6-2+10

Se procede a hacer lo mismo con los primeros dos valores de izquierda a derecha

11-8= 3

Se reescribe la operación:

3+6-2+10

Luego 3+6 = 9 quedando

9-2+10

Después 9-2 = 7

7+10 =17

Obteniendo como resultado final de toda la operación el número 17.

Operaciones de suma y resta con signos de agrupación

Recordemos que los signos de agrupación como paréntesis, llaves y corchetes tienen mayor jerarquía por lo que se deben resolver primero.

Ejemplo de sumas y restas con signos de agrupación

325-[(50+12)-(30+10)+(-20+15)]

Primero se deben resolver los paréntesis

50+12 = 62

30+10 = 40

-20+15= -5

Por lo que la operación quedaría escrita como:

325-[(62)-(40)+(-5)]

Luego para quitar los paréntesis utilizamos la ley de los signos quedando la operación así:

325-[62-40-5]

Luego se resuelve el corchete

62-40-5=17

quedando la operación

325-[17]

Nuevamente se aplica la ley de signos y queda

325-17 = 308

Operaciones de multiplicación y división sin signos de agrupación

Recordemos que la multiplicación y la división tienen la misma jerarquía este caso aplica la primeras norma y es que las operaciones se resuelven de izquierda a derecha:

Ejemplo de operaciones de multiplicación y división sin signos de agrupación

4x-8x-2÷16

Nuevamente empezamos con los dos primeros factores de izquierda a derecha que son:

4x-8 = -32

Este resultado queda negativo de acuerdo con la ley de los signos y se reemplaza en la operación

-32x-2÷16

Nuevamente se toman los dos primeros factores

-32 x -2 = 64

Este resultado queda positivo de acuerdo con la ley de los signos y se reemplaza en la operación

64÷16 = 4

Operaciones combinadas sin signos de agrupación

Lo más común es encontrar este tipo de operaciones donde hay sumas, restas, multiplicaciones y divisiones todo a la vez.

Ejemplo de operaciones combinadas sin signos de agrupación

Que mejor forma de empezar que con el ejercicio que abrió esta discusión, nuestro primer ejemplo

4 x 10 – 40 ÷ 40

De acuerdo con la jerarquía lo primero que debemos resolver son las multiplicaciones y las divisiones entonces tenemos una multiplicación y una división

Multiplicación: 4 x10 = 40

División: 40÷ 40 = 1

Luego se reemplazan esos resultados quedando

40-1

De allí que la respuesta a este ejercicio es 39, vamos a hacer ahora uno un poco más complicado.

Operaciones combinadas con signos de agrupación

Este es tal vez el caso donde todas las reglas salen a relucir, es importante tener claridad de cómo se deben resolver, veamos a través de varios ejemplos

Ejemplo 1 operaciones combinadas con signos de agrupación

Este caso representa un ejercicio con varias operaciones matemáticas a la vez entonces lo primero que debemos empezar a resolver son los paréntesis, en este caso tenemos 3 que son:

4-9 = -5

-5+1 = -4

3+2 = 5

De este modo nuestra operación quedaría escrita

De acuerdo con la jerarquía ahora se debe solucionar el corchete:

6-(-4) = 6+4 = 10

Por lo que nuestra operación queda escrita:

Siguiendo las normas de la jerarquía de operaciones siguen los exponentes, en este caso solo hay uno

-5²=25

Por lo que la operación queda:

Luego se desarrollan las multiplicaciones donde la operación se reduce a:

3×25=75

Luego se realiza la suma y la operación queda

Lo último que se soluciona son los signos de agrupación diferentes a los paréntesis, corchetes y llaves que en este caso es la raya fraccionaría.

85/5=17

Por lo que al final 85 divido entre 5 nos da como respuesta final al ejercicio 17.

Ejemplo 2 operaciones combinadas con signos de agrupación

Una vez más nos guiamos por la jerarquía de las operaciones donde resolvemos primero los paréntesis quedando la operación expresada como

Luego solucionamos los exponentes quedando

Después siguiendo las reglas solucionamos las multiplicaciones

Seguido las sumas o restas, en este caso hay una resta

Finalmente los signos de agrupación secundarios que en este caso es la raíz cuadrada dando como resultado 8 en este ejemplo.

También puedes estudiar

Ley de los signos Números Enteros Ecuación de primer grado o lineal