Los números enteros son el conjunto que contienen a todos los números naturales, a sus inversos negativos y al cero. Este conjunto es el primero que contiene al cero y a los números negativos.
Teniendo esto en cuenta te preguntarás ¿los números 1, 2, 3, 4, 5… entonces son naturales o son enteros? la respuesta es que son ambos, tanto naturales como enteros, a diferencia por ejemplo del -1, -2, -3, -4… que no son números naturales, son estrictamente números enteros.
En otras palabras todos los números naturales también son números enteros, pero no todos los números enteros son números naturales.
Tabla de contenidos
¿Cómo nacen los enteros?
Este conjunto nace de la necesidad de realizar restas de números naturales donde el minuendo era menor que el sustraendo, es decir que a un número cualquiera se le restaba un número mayor, por ejemplo:
Esto le permitió a la humanidad tener una representación numérica de situaciones que vivían pero no podían plasmar matemáticamente como por ejemplo las deudas que tenía un comerciante, profundidades respecto al mar, temperaturas por debajo cero, entre muchas otras.
Es importante resaltar que los números enteros son un subconjunto de los números reales.
Representación de los enteros
Los números enteros se representan a través de la letra Z.
Los números positivos, que son mayores a cero se escriben sin ningún símbolo adicional y los números negativos, que son menores que cero llevan el signo menos antes del valor.
Un número entero positivo se lee igual que los números naturales, por ejemplo el 10 se lee como diez, a los números enteros negativos al anteponerse el signo menos también se debe leer entonces -10 se lee como menos diez.
Representación de los números enteros en la recta
Si se utiliza la recta real los números enteros abarcan los puntos discretos desde menos infinito hasta más infinito, por lo que cualquier punto discreto de la recta es un número entero.
Como se puede observar la parte izquierda de la recta contiene a los números enteros negativos, la parte derecha contiene a los números enteros positivos y el centro es el cero.
Las partes tanto positiva como negativa se pueden analizar como si hubiese un espejo en el cero, son simétricas pero con signos diferentes.
Dominio de los números enteros
Otra forma común de representar este conjunto es a través del dominio, nuevamente el número entero es cualquier número discreto que se encuentre en el intervalo desde menos infinito hasta más infinito (-∞, ∞)
¿Para qué sirven los enteros?
Los números enteros tienen una gran cantidad de aplicaciones en varios campos por ejemplo:
Los enteros positivos: sirven para mostrar estados de ganancias, temperaturas positivas, distancias hacía la derecha, indicadores de eficiencia.
Los enteros negativos: sirven para mostrar deudas, pérdidas, temperaturas bajo cero, entre otras.
Ejemplos de enteros
La temperatura en el polo sur es de -45°C en invierno
Juan le debe 2000 dólares a Pedro, su estado financiero en este momento se encuentra en -2000 dólares.
¿Cuáles son las características de los enteros?
Este conjunto tiene varias características que los hacen particulares:
Orden
Los números enteros tienen un orden creciente, cada uno es el anterior más uno, de este modo podemos conocer la posición de cualquier número, por ejemplo sabemos que el número 15 va después del número 14 y a su vez el número 14 va después del 13.
En el caso de los números enteros negativos entre más a la derecha se encuentre en la recta mayor será, por ejemplo -1 es mayor que -3.
Como regla general cualquier número entero positivo siempre es mayor que cualquier número entero negativo.
Este orden trae como consecuencia que hayan números enteros mayores o menores que otros.
Por ejemplo podemos decir que 15 es mayor que 14 o sea 15>14 y siguiendo la misma lógica podemos decir que -8 es menor que 10, o sea -8<10.
Conjunto discreto
Los números enteros son un conjunto discreto, es decir entre el número 1 y el número 2 no hay ningún otro número entero, así mismo entre el -8 y el -7 tampoco hay ningún número entero, esto permite conocer la cantidad de números enteros que hay entre dos elementos.
Infinitud
Los números enteros son infinitos tanto en su lado negativo como en su lado positivo, siempre hay un número mayor y siempre hay un número menor, por grande que parezca, por ejemplo si se piensa en el número 9999999948423 parece grande pero después de él está el 9999999948424 y luego el 9999999948425, no hay un final, siempre hay un número entero más grande que el anterior. Por el lado negativo si se piensa en -9999999948423 hay otro número menor que sería -9999999948424 y así sucesivamente hasta el menos infinito.
Inicio indefinido
Los números enteros no tienen un inicio ni un final por sus propiedades de infinitud se diría que empieza en menos infinito y termina en el infinito.
Valor absoluto de un número entero
En algunas ocasiones es necesario conocer la distancia a la que se encuentra un número del cero en la recta numérica, de allí nace el concepto de valor absoluto.
El valor absoluto de un número se representa con líneas verticales a los lados del número.
Por ejemplo veamos el valor absoluto del número 4, o sea |4|
La distancia entre el 0 y 4 son 4 unidades por lo que el valor absoluto de 4 equivale a 4:
|4| = 4
Ahora veamos un ejemplo con un número negativo, veamos el valor absoluto de -3, es decir |-3|
Es decir que la distancia entre el -3 y el cero es de 3 unidades por lo que:
|-3| = 3
De este modo se tiene que el valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitar el signo, por ejemplo:
|-8| = 8
|-23| = 23
|13| = 13
|56| = 56
|-30| = 30
Operaciones matemáticas con números enteros
Se pueden realizar las operaciones matemáticas básicas suma, resta, multiplicación y división:
Suma de números enteros
Para sumar dos números enteros se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
- Si ambos números tienen el mismo signo, se sacan los valores absolutos, se suman las magnitudes y se mantiene el signo inicial.
Ejemplo suma de enteros positivos:
7+8
Se sacan los valores absolutos
|7|= 7
|8|= 8
Se suma 7+8 = 15 y se mantiene el signo que en este caso es positivo por lo que no se escribe, es decir cuando ambos números son enteros positivos es como realizar una suma normal.
Ejemplo suma de enteros negativos:
-7+(-8)
Se sacan los valores absolutos:
|-7|= 7
|-8|= 8
Se suman: 7+8 = 15 y se mantiene el signo inicial de los números que en este caso era negativo entonces:
-7 + (-8) = -15
El resultado en este caso es -15.
- Si los números tienen diferentes signos se sacan los valores absolutos y se restan, el resultado mantiene el signo del número con valor absoluto más grande.
Ejemplo suma de enteros con diferente signo:
10+(-5)
Se sacan los valores absolutos:
|10|= 10
|-5|= 5
Se identifica el mayor valor absoluto en este caso es 10. Luego se resta el mayor con el menor así:
10-5 = 5
Se deja el signo del número con valor absoluto mayor que era el 10 como era positivo entonces el resultado de toda la operación también será positivo
10+(-5) =5
Ejemplo #2 suma de enteros con diferente signo:
-20+4
Se sacan los valores absolutos:
|-20|= 20
|4|= 4
Se identifica el mayor valor absoluto en este caso es 20. Luego se resta el mayor con el menor así:
20-4 = 16
Se deja el signo del número con valor absoluto mayor que era el 20 como era negativo entonces el resultado de toda la operación también será negativo
-20+4 = -16
Otros ejemplos de suma de enteros:
56+14= 70
-40+20=-20
-30+(-30)=-60
12+8 = 20
12+(-9)= 3
Propiedades de la suma de números enteros
Los números enteros cumplen tres propiedades las cuales son:
Propiedad conmutativa:
Si dos números pertenecen a los números enteros entonces el resultado de sumar el primero más el segundo es exactamente igual que sumar el segundo más el primero.
Matemáticamente se representa: si x,y ∈ Z, entonces x+y=y+x
Ejemplo: El número 14 pertenece a los enteros, el número 6 pertenece también a los enteros, entonces: 14+6 = 20 = 6+14
Lo mismo sucede con los números negativos:
-6 + (-4) = -10 = -4 + (-6)
Propiedad asociativa:
Si se tienen tres números enteros la suma de los dos primero más el tercero es exactamente igual que si se sumaran los dos últimos más el primero.
Matemáticamente se representa: si x,y,a ∈ >Z, entonces (x+y)+a=x+(y+a)
Ejemplo: Se tienen los números -4, -10 y 6 entonces:
(-4+(-10))+6
-14+6
-8
Por otro lado
-4+(-10+6)
-4+(-4)
-8
Entonces (-4+(-10))+6 = -8 =-4+(-10+6)
Neutro aditivo
Existe un elemento que al ser sumado con cualquier otro número entero se obtiene como resultado el mismo número entero. Ese elemento es el número cero.
Matemáticamente se representa: Existe 0 ∈ Z, tal que x+0=x para todo x ∈ Z
Ejemplo: Se tiene un número entero cualquiera para este ejemplo -18 entonces -18 + 0 = -18
Resta de números enteros
La resta de los números enteros es una particularidad de la suma por lo que es muy sencilla de realizar.
Se tienen dos números a y b que son números enteros y que vamos a restar a-b (a minuendo menos b sustraendo) para poder hacer esta operación simplemente cambiamos de signo a b el sustraendo y sumamos.
Ejemplo:
Tenemos los números 11 y 5 queremos realizar la resta, entonces le cambiamos el signo al número 5, pasa a ser -5 y se suma:
11-5
11+(-5) = 6
Entonces 11 menos 5 es igual a 6
Tenemos los números 8 y -4 queremos realizar la resta, le cambiamos el signo a -4 quedando 4 y sumamos:
8-(-4)
8+4 = 12
Entonces 8 menos -4 es igual a 12.
Tenemos los números -6 y -15 queremos realizar la resta entonces le cambiamos el signo a -15 quedando 15 y sumamos:
-6 – (-15)
-6+15 = 9
Entonces -6 menos -15 es igual a 9.
Multiplicación y división de números enteros
Para la multiplicación y división de los números enteros se realiza un procedimiento similar al de la suma donde se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
Para la multiplicación y para la división se saca el valor absoluto de los números que se quieren operar y luego se determina el signo siguiendo las siguientes reglas:
- El signo del resultado será positivo si los dos factores tienen signos iguales, aplica para positivo con positivo o negativo con negativo.
- El signo del resultado será negativo si los dos factores tienen signos diferentes, aplica para positivo con negativo y negativo con positivo.
Esto se basa en la regla o ley de los signos.
Ejemplo:
-6 * -4 = 24
-6 x 5 = -30
7 x 8 = 56
8/-4 = -2
4/2 = 2
Propiedades de la multiplicación de números enteros
Propiedad conmutativa
Si dos números pertenecen a los números enteros entonces el resultado de multiplicar el primero por el segundo es exactamente igual que multiplicar el segundo por el primero.
Matemáticamente se representa: si x,y ∈ Z, entonces xy=yx
Ejemplo: El número 14 pertenece a los enteros, el número 6 pertenece también a los enteros, entonces: 14×6 = 84 = 6×14
Propiedad asociativa
Si se tienen tres números enteros la multiplicación de los dos primero por el tercero es exactamente igual que si se multiplicaran los dos últimos por el primero.
Ejemplo: Se tienen los números -4, -10 y 6 entonces:
(-4x(-10))x6
40×6
240
Por otro lado
-4x(-10×6)
-4x(-60)
240
Entonces (-4x(-10))x6 = 240 =-4x(-10×6)
Propiedad del neutro multiplicativo
Existe un elemento que al ser multiplicado con cualquier otro número entero se obtiene como resultado el mismo número entero. Ese elemento es el número uno.
Matemáticamente se representa: Existe 1 ∈ Z , (1≠0) tal que x(1)=(1)x=x para todo x ∈ Z
Ejemplo: Se tiene a -24 entonces -24 x 1 = -24
Propiedad de inverso multiplicativo
Para cualquier número entero existe un inverso multiplicativo que al ser multiplicados el resultado es uno.
Matemáticamente se representa:
Para cada x≠0 ∈ Z, existe x-1 ∈ Z tal que x-1x = 1
Ejemplo: Se tiene a -20 por lo que existe -1/20 tal que:
-20 x (-1/20) = 1
Propiedad distributiva de la multiplicación en la suma
Si se tienen tres números, dos de ellos se están sumando y se quieren multiplicar por el tercero, el resultado es equivalente a la multiplicación del primero con el tercero más la multiplicación del segundo con el tercero.
Matemáticamente se representa:
si x,y,a ∈ Z, entonces (x+y)a=xa+ya
Ejemplo: Se tienen 3 números 5,6,7 entonces:
(5+6) x 7
11 x 7
77
(5 x 7) + (6 x 7)
35+42
77
(5+6) x 7 = 77 = (5 x 7) + (6 x 7)
Es importante recalcar que la división en los números enteros no cumplen con las propiedades asociativa, conmutativa ni la distributiva.
