Lo primero que debemos tener en cuenta es que la ecuación de la circunferencia describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
La ecuación del círculo describe el lugar geométrico del conjunto de puntos cuya distancia al centro es igual o menor que el radio.
´De este modo la diferencia entre circunferencia y círculo básicamente es que la circunferencia es únicamente es la línea curva que contiene y bordea, mientras que el círculo es esa línea más todo lo que contiene dentro.
Ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C
Para determinar la ecuación ordinaria de la circunferencia se toma como ejemplo una circunferencia cualquiera con centro en un valor C con coordenadas (A,B) y cuyo radio (r) llega hasta el punto (x,y) como se muestra a continuación.
Circunferencia con radio (r) que llega a las coordenadas (x,y) con un centro C con coordenadas (A,B)
Teniendo en cuenta el triangulo rectángulo cuyos lados miden (x-A) y (y-B) y su hipotenusa es r y aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene.
Ecuación ordinaria de la circunferencia
Nota: Si el valor de r es cero entonces no hay una circunferencia sino un punto.
Ejemplo resuelto ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C
Calcular la ecuación de la circunferencia con centro en la coordenada (3,5) y de radio 3
Solución
Se utiliza la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C
Ecuación ordinaria de la circunferencia
Se reemplazan los valores de la coordenada del centro (A,B) por los valores (3,5)
Luego se reemplaza el valor del radio
Finalmente resolviendo la ecuación se tiene
Ecuación de la circunferencia con centro en la coordenada (3,5) y de radio 3
Ejercicios ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C
Ejercicio ecuación de la circunferencia con centro en C
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Ecuación canónica de la circunferencia
Cuando la circunferencia tiene el centro en el origen sin importar el radio se conoce como circunferencia canónica como la que se presenta a continuación.
Circunferencia canónica de radio 3
Esta circunferencia se puede describir con la ecuación canónica de la circunferencia.
Ecuación canónica de la circunferencia
Por lo tanto la ecuación que representa la circunferencia de radio 3 con centro en el origen será:
Ecuación de la circunferencia de radio 3 y centro en el origen
Ejemplo resuelto ecuación canónica de la circunferencia
Determinar la ecuación que describe a la circunferencia canónica y que pasa por el punto (3,4)
Solución
Se utiliza la ecuación canónica de la circunferencia
Ecuación canónica de la circunferencia
Se reemplazan los valores de (x,y) que se conocen, en este caso (3,4)
Ecuación canónica despejada
En este punto se puede conocer el radio de la circunferencia
El radio de la circunferencia es 5
Finalmente se tiene toda la ecuación canónica para esta circunferencia
Ecuación canónica para circunferencia que pasa por el punto (3,4)
Ejercicios ecuación canónica de la circunferencia
Ejercicio ecuación canónica de la circunferencia
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Ecuación general de la circunferencia
La última forma de escribir la ecuación de la circunferencia es mediante la ecuación general, simplemente es el desarrollo de la ecuación ordinaria con centro en C.
Desarrollo de la ecuación ordinaria a la ecuación general
Luego se reemplazan los valores así:
-2A -> D
-2B -> E
-A^2+B^2-r^2 -> F
Se obtiene la ecuación general de la circunferencia
La ecuación de la distancia entre dos puntos permite determinar la longitud del segmento que hay entre dos puntos dados.
Demostración de la ecuación de distancia entre dos puntos
Para definir la ecuación de la distancia entre dos puntos A y B primero se deben ubicar los puntos en el plano cartesiano.
Ubicación de los puntos A y B en el plano cartesiano
Luego debemos recordar que cada punto tiene su coordenada que se escribe de forma (x,y) de este modo quedaría
Coordenadas (x,y) de los puntos A y B
La distancia entre los puntos A y B se puede calcular a través del teorema de Pitágoras de la siguiente forma
Teorema de Pitágoras para calcular la distancia AB
La hipotenusa es la distancia entre A y B y los lados del triangulo se obtienen a partir de las coordenadas x y y de cada punto.
Teorema de Pitágoras
Reemplazando los valores del teorema de Pitágoras la ecuación de la distancia queda
Reemplazando los valores
Despejando se tiene que la ecuación de la distancia entre dos puntos es:
Ecuación de la distancia entre dos puntos
Ejemplos resuelto de la ecuación de distancia entre dos puntos
Ejemplo 1
Calcule la distancia que hay entre los puntos (1,5) y (3,15)
Solución
Se aplica la ecuación de la distancia entre dos puntos
Ecuación de la distancia entre dos puntos
Se reemplazan los valores
Solución ejemplo 1
La distancia entre los puntos (1,5) y (3,15) es 10,19803 que se aproxima a 10,20.
Ejemplo 2
Calcule la distancia que hay entre los puntos (-3,-8) y (4,11)
Solución
Se aplica la ecuación de la distancia entre dos puntos
Ecuación de la distancia entre dos puntos
Se reemplazan los valores
Solución ejemplo 2
Ejercicios ecuación de la distancia entre dos puntos
Ejercicio distancia entre dos puntos
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Calculadora para la distancia entre dos puntos
En esta sección encontraras la calculadora que te ayudara a resolver la distancia entre dos puntos. Para el uso de esta calculadora solo debes ingresar los puntos y dar clic en el botón de Respuesta. Divierte hallando la distancia entre dos puntos.
La ecuación de lapendiente de una recta permite determinar el grado de inclinación que tiene la recta con respecto al eje X.
La pendiente de una recta está definida por la ecuación
Ecuacíon de la pendiente
Este valor es de suprema importancia ya que a través de él se puede determinar la ecuación de la recta
Demostración de la ecuación de la pendiente
Para encontrar el valor de la pendiente es necesario conocer dos puntos cualquiera de una recta en el plano cartesiano, para este ejemplo tomaremos (5,3) y (9,7)
La pendiente es el cambio que tienen los valores en el eje y dividido entre el cambio que tienen los valores en el eje x quedando de este modo:
Cambio en eje y divido entre cambio en el eje x
Se tienen que analizar entonces los cambios en el valor de y de un punto a otro al igual que los cambios en el valor de x.
Demostración obtención de la pendiente
Teniendo en cuenta que
Valor de la pendiente con las diferencias en y y en x
Se reemplazan los valores
Desarrollo del cálculo de la pendiente
La pendiente tiene entonces un valor de 1.
Para calcular el resto de la ecuación de la recta de este ejemplo puedes visitar nuestra página de ecuación de la recta.
Ejercicios de la ecuación de la pendiente
Ejercicio #1 Pendiente
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Determinación de la pendiente con el angulo de inclinación
Para lograr calcular la pendiente a través del ángulo de inclinación de la misma es necesario utilizar la ecuación del ángulo de la pendiente.
Esta ecuación se obtiene al tener en cuenta en el plano cartesiano los datos de Δ y, Δ x y el ángulo.
Ángulo θ es la inclinación de la recta
Teniendo en cuenta que θ es el ángulo de inclinación de la recta la ecuación de la pendiente será:
La tangente del ángulo es igual a la pendiente
Así pues, se tiene que el grado de inclinación de la recta, es decir el ángulo determina el valor de la pendiente.
En la siguiente tabla se muestra el valor de la pendiente para diferentes ángulos.
Ángulo
Pendiente
0
0
15
0,27
30
0,58
45
1,00
60
1,73
75
3,73
90
Infinito (es una línea vertical)
105
-3,73
120
-1,73
135
-1,00
150
-0,58
165
-0,27
180
Infinito (es una línea vertical)
Ejercicios del ángulo de la pendiente
Ejercicio #2 Ángulo de la pendiente
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Calculadora de la Pendiente entre dos puntos
En esta sección encontrarás la calculadora que te ayudará a resolver la pendiente de una recta, usando dos puntos.
Para el uso de esta calculadora solo debes ingresar los puntos y dar clic en el botón de respuesta.
Diviérte hallando la pendiente.
Si tienes alguna duda con la ecuación de la pendiente o con cualquier ecuación no dudes en escribirnos en nuestra página de contacto o en los comentarios
Primero vamos a empezar haciendo una definición de lo que es una recta y la diferencia que tiene con la ecuación de la recta.
Luego vamos a determinar la ecuación general y analizar las diferentes variantes que existen.
En la parte final vas a encontrar ejercicios resueltos paso a paso para que puedas comprender el tema a la perfección.
Definición de recta
Desde la geometría recta es una sucesión de puntos infinitos alineados en una misma dirección.
Cuando se mira en un plano esta recta puede ser vertical, horizontal o diagonal.
Definición de ecuación de la recta
Es la expresión algebraica que describe todos los puntos de la recta.
Al decir que describe se habla de la posición en el plano cartesiano tanto en el eje X como en el eje Y.
Ecuación general
La ecuación general de la recta describe el comportamiento de todas las rectas existentes en el plano cartesiano.
No importa la recta que se trace siempre va a cumplir con esta ecuación.
Ecuación general de la recta
Esta ecuacióngeneral de la recta nace de uno de los teoremas de la geometría euclidiana que dice:
Para determinar una línea recta solo es necesario conocer dos puntos A y B.
La ecuación general de esa recta de primer grado es Ax + By + C = 0 , donde A, B, C pertenecen a los números reales; A y B son diferentes de cero simultáneamente.
Ecuación de la recta que pasa por un punto
Para determinar la expresión algebraica de la recta que pasa por un punto es necesario conocer la tanto la pendiente (m) como las coordenadas del punto (la abscisa X como la ordenada Y)
Antes de continuar debemos recordar que la ubicación del punto dentro del plano cartesiano se hace mediante el uso de coordenadas.
(x,y) es la manera en que se debe escribir la ubicación del punto, por ejemplo el siguiente punto se encuentra ubicado en la coordenada (5,3)
Coordenadas del punto (5,3)
Ahora sí, la ecuación de la recta que pasa por un punto es la manera más sencilla de todos los casos de las expresiones algebraicas relacionadas con la recta.
La ecuación se escribe de la siguiente forma
Ecuación en el plano cartesiano de la línea recta que pasa por un solo punto
Ejemplo solucionado que pasa por un punto
Problema: ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,5) y tiene una pendiente igual a 3?
Solución:
Se aplica la ecuación general para las ecuaciones de la recta que pasan por un punto:
Conociendo la ecuación de la recta se reemplazan valores, recordemos que la pendiente es 3 y en este caso la coordenada del punto es (1,5) significa que x=1, y=5 por lo que la ecuación queda:
Se reemplazaron todos los valores conocidos, pendiente (m), abscisa (x), ordenada (y)
De esta ecuación se despeja n, quedando:
n es igual a 2
En conclusión la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,5) y tiene una pendiente igual a 3 es:
y=3x+2 es la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,5) y tiene una pendiente igual a 3
Ejercicios que pasa por un punto
Ejercicio #1 ecuación de la recta que pasa por un punto
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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es necesario conocer las coordenadas.
Línea recta que pasa por los puntos (-4,1) y (4,3)
Tal como se muestra en el siguiente plano cartesiano
La ecuación que representa la recta que pasa por dos puntos es:
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
En esta ecuación m es la pendiente y b es el punto de corte con el eje y.
Ejemplo que pasa por dos puntos y corta el eje y
En este tipo de ejemplos la recta toca en alguno de los puntos el eje y, volvamos a la gráfica de los dos puntos anteriores
Línea recta que pasa por los puntos (-4,1) y (4,3)
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-4,1) y (4,3)?
La ecuación de esta recta será:
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
b es el punto de corte con el eje y, en este caso se puede evidenciar que la recta toca el eje y en el valor 2.
Por lo tanto nuestra ecuación queda:
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos y tiene el corte con el eje y en 2
El siguiente paso es encontrar la pendiente (si no sabes cómo salió la ecuación de la pendiente y la diferente información que nos puede dar este valor númerico puedes aprenderlo todo haciendo click aquí)
Ecuación de la pendiente
Se reemplazan los valores para encontrar la pendiente (recuerda que no importa el orden de los puntos)
m es igual a 0,25
De este modo la línea recta que pasa por los puntos (-4,1) y (4,3) es
Ecuación terminada
Ejercicio ecuación de la recta que pasa por dos puntos y corta el eje y
Ejercicio #2 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
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Ejemplo que pasa por dos puntos y NO corta el eje y
En este tipo de ejemplos la recta no toca en ningún punto el eje y.
Por ejemplo, determine la ecuación de la líneaque pasa por los puntos (5,3) y (9,7)
Solución:
En este tipo de ejercicios cuando no se corta el eje y lo primero que debemos hacer es calcular la pendiente mediante la ecuación:
Ecuación de la pendiente
En este caso la pendiente será igual a:
Pendiente es igual a 1
Teniendo en cuenta el resultado de la pendiente se reemplaza en la ecuación quedando:
Ecuación con la pendiente reemplazada
Ahora debemos calcular b (el punto de corte con el eje y) pero recordamos que gráficamente no se puede realizar como en el ejemplo anterior porque esta recta no corta el eje y.
Para solucionar esto debemos reemplazar los valores de x y de y por uno de los valores de la coordenada de un punto.
La recta pasa por los puntos (5,3) y (9,7) esto significa:
Cuando x tiene un valor de 5, y tiene un valor de 3.
Cuando x tiene un valor de 9, y tiene un valor de 7.
Para despejar b se puede utilizar cualquiera de los dos puntos, en este caso utilizaremos (5,3) pero si eres curioso intenta utilizar (9,7) verás que nos da el mismo resultado.
b es igual a -2
Ahora sí, podemos concluir que la ecuación de la línea que pasa por los puntos (5,3) y (9,7) es:
Ecuación de la línea recta que pasa por los puntos (5,3) y (9,7)
Como la pendiente era 1 y todo número multiplicado por 1 da el mismo número se puede omitir la escritura de ese valor.
Ejercicios que pasa por dos puntos y NO corta el eje y
Ejercicio #3 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos y NO corta el el eje y
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Ecuaciones de la recta perpendiculares una de otra
Para determinar la ecuación de una recta perpendicular a otra se debe conocer la ecuación de una de ellas.
Graficamente dos rectas son perpendiculares si se cruzan y forman un ángulo de 90° entre ellas.
Matemáticamente dos rectas son perpendiculares si al multiplicar las dos pendientes el resultado es -1.
Ejemplo:
Calcular la ecuación de la recta que es perpendicular a y=2x+1 y que pasa por el punto (2,0)
Solución:
Lo primero que se debe hacer es identificar el valor de la pendiente de la recta conocida.
La forma general de todas las ecuaciones de la línea recta es
Ecuación general de la línea recta que pasa por 2 puntos
Entonces en la ecuación conocida se tiene que la pendiente es
Determinación de la pendiente de la ecuación conocida
Encontrar el valor de la pendiente de la recta perpendicular, recordemos que al multiplicar las dos pendientes el resultado debe ser -1.
La pendiente de la recta perpendicular debe ser -0,5
Conociendo que la recta perpendicular tiene como pendiente -0,5 ahora se reemplaza en la forma general.
Ecuación con la pendiente reemplazada
Para encontrar el valor de b en la ecuación reemplazamos los valores de x,y conocidos, es decir el punto por el que pasa la recta de acuerdo con el enunciado del problema (2,0) .
El valor de b es 1
Ya se conocen todos los datos por lo tanto la ecuación que es perpendicular a y=2x+1 y que pasa por el punto (2,0) es
Ecuación de la recta perpendicular
Finalmente para evidenciar que efectivamente una recta es perpendicular a la otra se grafican las dos ecuaciones y se ve que se forma un ángulo de 90° y que la recta pasa por el punto (2,0)
Ecuaciones de la recta perpendiculares una a la otra
Ejercicio de rectas perpendiculares una de la otra
Ejercicio #4 Rectas perpendiculares una de la otra
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Ecuaciones de la recta paralelas una de otra
Para determinar la ecuación de una recta paralela a otra se debe conocer la ecuación de una de ellas.
Gráficamente dos rectas son paralelas si nunca se tocan entre ellas.
Matemáticamente dos rectas son paralelas si las dos tienen las mismas pendientes.
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta que es paralela a y=2x+1 y que pasa por el punto (2,0)
Del ejemplo anterior habíamos demostrado que la pendiente de la ecuación conocida era 2.
Pendiente de la ecuación conocida es 2
Entonces la ecuación de la recta paralela debe tener la misma pendiente es decir que la ecuación es
Ecuación de la recta paralela
Como se sabe que pasa por el punto (2,0) se reemplazan los valores para despejar el valor de b.
El punto de corte con el eje y, es -4
Conociendo los valores del punto de corte, b, y de la pendiente se reemplazan de tal modo que la ecuación que es paralela a y=2x+1 y que pasa por el punto (2,0) es
Ecuación de la recta paralela a y=2x+1
Finalmente para evidenciar que efectivamente una recta es paralela a la otra se grafican las dos ecuaciones y se ve que nunca se tocan y que la recta pasa por el punto (2,0)
Rectas paralelas una de la otra
Ejercicio de rectas paralelas una de la otra
Ejercicio #5 Rectas paralelas una de la otra
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Calculadora para hallar el punto de corte
En esta sección encontrarás la calculadora que te ayudará a hallar el punto de corte.
Para el uso de esta calculadora solo debes ingresar la pendiente y un punto de esta recta.
Calculadora para hallar la recta que pasa por dos puntos (x,y)
Calculadora de Recta
Ejercicios propuestos
1) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,3) y su pendiente es m=2?
Munévar, R. (S.F) Ecuación de la recta. ecuacionde.com. Recuperado el día (fecha en la que nos consultas) de https://ecuacionde.com/la-recta
Recuerda que si tienes dudas frente a este tema o cualquier otro tema relacionado con ecuaciones puedes dejar tu pregunta en los comentarios o en nuestra página de contacto
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