Para solucionar este ejercicio de forma sencilla debemos conocer el concepto de pendiente y de ecuación de la recta.
De acuerdo con la ecuación de la recta tenemos que:
Como conocemos el punto que pasa por el ejercicio propuesto entonces utilizamos la forma de la ecuación punto pendiente:
Reemplazamos los valores:
De este modo concluimos que la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,3) y tiene pendiente 2 es y=2x+3.
En matemáticas, la potenciación o exponenciación es una operación que indica cuántas veces se multiplica un número por sí mismo, se utiliza en diferentes ramas del conocimiento general desde la aritmética básica hasta la ingeniería.
Por ejemplo,
Existen tres partes fundamentales cada vez que llevamos a cabo este proceso, la base, el exponente y el resultado.
Representada por la letra a, es el número que se va a multiplicar.
Es el número de veces que se va a multiplicar la base, se representa con la letra n.
Es el valor número que da al multiplicarse la base el número de veces que indica el exponente.
Dependiendo del valor del exponente será la lectura de la potencia, para ello tenemos tres casos:
En este caso se lee la base y luego «al cuadrado» por ejemplo:
Esta expresión se leería «cuatro al cuadrado».
En este caso se lee la base y luego «al cubo» por ejemplo:
Esta expresión se leería «siete al cubo».
Cualquier otro número diferente al 2 o al 3 cambia le forma en la que leemos la potencia, para este caso se lee la base y luego «elevado a la» y el número de del exponente, por ejemplo:
Esta expresión se lee «cinco elevado a la siete».
Cuando se presentan operaciones matemáticas con potencias se pueden utilizar diferentes propiedades que tienen para facilitar el cálculo.
Las propiedades son variadas y dependen de la operación, estas son:
Todo número elevado a un exponente cero da como resultado uno, ejemplo:
La forma general en que se escribe esta propiedad es:
Todo número elevado a la uno, da como resultado el mismo número, ejemplo:
En general esta propiedad se expresa como:
Cuando se tienen dos potencias con la misma base y se quieren multiplicar, lo que se hace es dejar la misma base y sumar los exponentes, por ejemplo:
Esta propiedad solo se cumple si las dos bases son iguales.
La forma general de escribir esto es:
Si se desean dividir dos potencias con la misma base, el resultado es una potencia con la misma base y la resta de los exponentes, por ejemplo:
De forma general la división de potencias de misma base se escribe como:
Una potencia puede elevarse a otra potencia y matemáticamente parece díficil de resolver sin embargo utilizando esta propiedad es muy sencillo hacerlo.
Cuando una potencia se eleva a otra potencia se deben multiplicar los exponentes y mantener la misma base, por ejemplo:
Le expresión general que describe esta propiedad es:
Si dos potencias tienen el mismo exponente pero diferente base, se deben multiplicar las bases y elevar al exponente en común, por ejemplo:
Esta multiplicación, en forma general se puede escribir como:
Si dos potencias tienen el mismo exponente pero diferente base, se deben dividir las bases y elevar al exponente en común, por ejemplo:
La forma general de escribir esta propiedad es:
Una base con un exponente negativo da como resultado un fraccionario donde el numerador es igual a uno y el denominador es igual a la base con el exponente positivo, por ejemplo.
De forma general se puede decir que:
Cuando un fraccionario se eleva a una potencia, para resolverse, el numerador se eleva al exponente determinado y el denominador también se eleva al mismo exponente, así:
En terminos generales esta propiedad se expresa:
Para este caso, cuando se tiene un fraccionario elevado a un exponente negativo, el numerador del fraccionario con exponente negativo pasa como resultado a ser el denominador del fraccionario respuesta pero con el exponente positivo.
Así mismo el que antes era el denominador con exponente negativo, pasa a ser el numerador de la respuesta pero con exponente positivo. Ejemplo:
De forma general esta propiedad se expresa:
Cuando una base tiene un exponente fraccionario esta se puede escribir también en forma de radical, donde el denominador será la raíz y el numerador el exponente, ejemplo:
De forma general:
En este caso se cumplen las mismas condiciones de exponente fraccionario solo que al ser negativo el exponente se pone el radical positivo en el denominador.
La ley de los signos nos explica si el resultado de una operación matemática será positivo o negativo teniendo en cuenta la naturaleza de los números que se están operando.
En la potenciación el signo se puede encontrar dentro del paréntesis y para estos casos tenemos dos posibilidades, primero que el exponente sea par o segunda que el exponente sea impar.
Todas las potencias con exponente par dan como resultado un número positivo, por ejemplo:
En las potencias con exponente impar si la base es negativa, tendremos como resultado un número negativo, pero si la base es positiva tendremos como resultado un número positivo, por ejemplo:
Si el signo se encuentra fuera del paréntesis o si no existe ningún paréntesis debemos dejar el resultado igual que el signo, si el signo es positivo (o no hay signo) el resultado será positivo, si el signo es negativo, el resultado será negativo.
Esta condición se debe cumplir independientemente si el exponente es par o impar.
La potenciación es una función matemática que crece con rapidez, aquí puedes ver el comportamiento de los dos principales exponentes.
Munévar, R. (S.F) Ecuación de Arrhenius. ecuacionde.com. Recuperado el día (fecha en la que nos consultas) de https://ecuacionde.com/potenciacion
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A medida que la humanidad fue utilizando los números para sus actividades cotidianas fue necesario hacer divisiones lo que llevó a la creación de la fracción.
Posteriormente la fracción también se conoció como número fraccionario, estos números pertenecen al conjunto de los números racionales.
Una fracción o un número fraccionario es la expresión matemática de una cantidad dividida entre otra cantidad.
En la práctica una fracción representa las partes de un todo.
El estudio de las fracciones viene desde hace varios siglos, inicialmente en el idioma latín se decía fractio a la acción de romper.
La representación de una división es la ruptura de la unidad en varias partes, de allí los matemáticos adoptaron la palabra fractio para definir a una cantidad dividida en otra.
Tiempo después con el surgimiento de los nuevos idiomas, el español modificó la palabra a como se conoce hoy en día fracción o fraccionario.
Hay principalmente dos maneras de hacerlo, ambas formas tienen las mismas partes.
La primera es la forma horizontal donde los términos mantienen un mismo nivel:
La segunda forma es vertical donde los términos se encuentran uno sobre el otro:
Todas las fracciones se componen de tres partes:
Ambas formas de escritura son totalmente válidas y equivalentes entre sí, en ambas formas aparece el numerador, el denominador y la línea divisoria.
La lectura de la fracción se hace de forma muy sencilla, lo primero que se debe hacer es leer el numerador de forma normal y luego el denominador de acuerdo con las tablas que se presentarán a continuación:
| Número | Lectura | Número | Lectura |
| 1 | Un | 26 | Veintiséis |
| 2 | Dos | 27 | Veintisiete |
| 3 | Tres | 28 | Veintiocho |
| 4 | Cuatro | 29 | Veintinueve |
| 5 | Cinco | 30 | Treinta |
| 6 | Seis | 31 | Treinta y uno |
| 7 | Siete | 32 | Treinta y dos |
| 8 | Ocho | 33 | Treinta y tres |
| 9 | Nueve | 34 | Treinta y cuatro |
| 10 | Diez | 35 | Treinta y cinco |
| 11 | Once | 36 | Treinta y seis |
| 12 | Doce | 37 | Treinta y siete |
| 13 | Trece | 38 | Treinta y ocho |
| 14 | Catorce | 39 | Treinta y nueve |
| 15 | Quince | 40 | Cuarenta |
| 16 | Dieciséis | 41 | Cuarenta y uno |
| 17 | Diecisiete | 42 | Cuarenta y dos |
| 18 | Dieciocho | 43 | Cuarenta y tres |
| 19 | Diecinueve | 44 | Cuarenta y cuatro |
| 20 | Veinte | 45 | Cuarenta y cinco |
| 21 | Veintiuno | 46 | Cuarenta y seis |
| 22 | Veintidós | 47 | Cuarenta y siete |
| 23 | Veintitrés | 48 | Cuarenta y ocho |
| 24 | Veinticuatro | 49 | Cuarenta y nueve |
| 25 | Veinticinco | 50 | Cincuenta |
Después del número 11 se le agrega el sufijo «avos» para indicar que estamos hablando de una fracción.
| Número | Lectura | Número | Lectura |
| 1 | Entero | 26 | Veintiseisavos |
| 2 | Medios | 27 | Veintisieteavos |
| 3 | Tercios | 28 | Veintiochoavos |
| 4 | Cuartos | 29 | Veintinueveavos |
| 5 | Quintos | 30 | Treintavos |
| 6 | Sextos | 31 | Treinta y unavos |
| 7 | Séptimos | 32 | Treinta y dosavos |
| 8 | Octavos | 33 | Treinta y tresavos |
| 9 | Novenos | 34 | Treinta y cuatroavos |
| 10 | Decimos | 35 | Treinta y cincoavos |
| 11 | Onceavos | 36 | Treinta y seisavos |
| 12 | Doceavos | 37 | Treinta y sieteavos |
| 13 | Treceavos | 38 | Treinta y ochoavos |
| 14 | Catorceavos | 39 | Treinta y nueveavos |
| 15 | Quinceavos | 40 | Cuarentavos |
| 16 | Dieciseisavos | 41 | Cuarenta y unavos |
| 17 | Diecisieteavos | 42 | Cuarenta y dosavos |
| 18 | Dieciochoavos | 43 | Cuarenta y tresavos |
| 19 | Diecinueveavos | 44 | Cuarenta y cuatroavos |
| 20 | Veinteavos | 45 | Cuarenta y cincoavos |
| 21 | Veintiunavos | 46 | Cuarenta y seisavos |
| 22 | Veintidosavos | 47 | Cuarenta y sieteavos |
| 23 | Veintitresavos | 48 | Cuarenta y ochoavos |
| 24 | Veinticuatroavos | 49 | Cuarenta y nueveavos |
| 25 | Veinticincoavos | 50 | Cincuentavos |
Si el denominador es un múltiplo de 10 tenemos:
100: Centésimo
1000: Milésimo
10 000: Diez milésimo
100 000: Cien milésimo
1 000 000: Millonésimo
10 000 000: Diez millonésimo
Nota: si la fracción es negativa simplemente se agrega la palabra «menos» antes de la lectura.
Teniendo esto en cuenta vamos a ver varios ejemplos de cómo leer una fracción:
| Fracción | ¿Cómo se lee la fracción? |
|---|---|
| 1/2 | Un medio |
| 7/13 | Siete treceavos |
| -8/7 | Menos ocho séptimos |
| 41/43 | Cuarenta y un cuarenta y tresavos |
| 29/1 | Veintinueve enteros |
| -32/12 | Menos treinta y dos doceavos |
| -9/50 | Menos nueve cincuentavos |
| 6/3 | Seis tercios |
| 20/8 | Veinte octavos |
| 30/30 | Treinta treintavos |
| 43/1 000 000 | Cuarenta y tres millonésimos |
Existen varias formas de representar a los números racionales o a las fracciones, dependiendo de la actividad que se esté realizando es posible hacerlo de una forma u otra para facilidad y manejo de las cantidades.
Esta es una de las formas más sencillas de representar una fracción, lo que se hace es dibujar una unidad y dividirlo entre la cantidad de partes que indica el denominador y luego seleccionar la cantidad de partes que indica el numerador, por ejemplo:
En este caso el fraccionario 1/4 significa que una unidad (una figura geométrica) se dividió en 4 partes iguales y de esas se seleccionó una.
La representación de la fracción 2/8 sería dividiendo la unidad, en este caso el círculo en ocho partes iguales y tomando 2.
Los casos que hemos visto la cantidad de partes a escoger (el numerador) es menor que las partes en las que fue dividida la unidad, pero ¿Qué pasaría si fuera al contrario?
Cuando el numerador es más grande que el denominador debemos utilizar más de una unidad, por ejemplo si queremos representar gráficamente 21/8
El denominador 8 nos dice que la unidad se debe dividir en 8 partes iguales es decir que quedaría:
Pero de acuerdo con el numerador debemos escoger 21 partes y solo tenemos 8, entonces vamos a requerir de más unidades, ahora intentemos con dos:
En este caso vemos que tenemos 16 partes que siguen siendo insuficientes ya que necesitamos 21, por lo que es necesario agregar otra unidad.
Al ser una división entre dos números, las fracciones también se pueden representar de forma decimal resolviendo dicha división.
Por ejemplo:
1/2 = 0,5
1/4 = 0,25
7/4 = 1,75
9/8 = 1,125
El símbolo de porcentaje % se utiliza para representar las partes de una unidad, es decir representa también lo que es una fracción.
Para escribir un porcentaje en forma de fracción lo único que debe hacerse es dividir el porcentaje entre 100, por ejemplo:
En una comunidad de Toledo de 200 personas el 50% está de acuerdo con una decisión política, ¿Cuántas personas están de acuerdo?
En este caso 100 personas están de acuerdo con la decisión, para convertir el 50% a una fracción simplemente se dividió 50 entre 100 quedando el fraccionario 50/100.
| Porcentaje | Fraccionario | Porcentaje | Fraccionario |
|---|---|---|---|
| 10% | 10/100 | 60% | 60/100 |
| 20% | 20/100 | 70% | 70/100 |
| 30% | 30/100 | 80% | 80/100 |
| 40% | 40/100 | 90% | 90/100 |
| 50% | 50/100 | 100% | 100/100 |
En caso contrario cuando se tiene un decimal y se quiere pasar a porcentaje simplemente se debe multiplicar por 100 y añadir el símbolo %.
Por ejemplo en Madrid 1/4 de las personas utilizan el metro todos los días, ¿Qué porcentaje equivale?
Se resuelve la división de 1/4 = 0,25 y una vez se tiene el decimal se multiplica por 100
En este caso se puede decir que el 25% de las personas en Madrid utilizan el metro todos los días.
Muchas veces te habrás preguntado ¿Cómo hago para explicarle a un niño el tema de fracciones? sin embargo es un tema bastante sencillo en el que puedes utilizar elementos que muy probablemente ya tienes en casa.
Lo primero que debes enseñar es a que el niño comprenda el tema del denominador que es en cuántas partes está dividida la unidad.
Por ejemplo a través de un simple rompecabezas de cuatro piezas puedes explicarle qué representa 1/4, 2/4, 3/4 y que la unidad completa representa 4/4.
Una vez el niño domine el concepto de numerador, se procede a que comprenda el concepto del denominador, para ello es importante que pueda hacer las divisiones necesarias en una unidad, el ejemplo más sencillo es el trabajo con una pizza.
A través de esta actividad el niño puede apropiar el concepto de denominador dividiendo la pizza por ejemplo en 2, 4 u 8 partes.
Son muchos los ejemplos del uso de las fracciones en la vida cotidiana ya que la división de números se ha expandido a diferentes aspectos entre los más comunes tenemos:
Siempre que se tenga una división interna de un conjunto el uso de las fracciones será fundamental, por ejemplo en las elecciones de un país se puede decir que 4/7 de la población prefiere a un candidato.
Cuando se habla de la división demográfica también es completamente válido estipular a través de una fracción que mis ingresos superan al de 9/10 de población.
Entre otros muchísimos casos de aplicación de las fracciones en la vida cotidiana.
Debido a que las fracciones son infinitas por su propia naturaleza de ser un conjunto perteneciente a los números reales se han hecho diferentes clasificaciones de acuerdo a características en común.
Las fracciones equivalentes son iguales o representan la misma cantidad pero están escritas de forma diferente, se caracterizan porque tanto el numerador y el denominador de la segunda fracción son múltiplos de la primera.
Por ejemplo las fracciones equivalentes a 3/4 son:
En este caso todas las fracciones son equivalentes ya que su valor en en decimal es de 0,75.
Otro ejemplo de fracciones equivalentes si tomamos como base 7/6 sería:
Así mismo todas estas fracciones son equivalentes entre ellas ya que su valor en decimal es de 1,1666…
Las fracciones mixtas son una mezcla entre las unidades que se escriben como número entero y la parte decimal que se escribe en forma de fracción con la condición de que debe ser menor a uno.
Por ejemplo si se tiene la fracción 42/10 cuando se pasa a decimal equivale a 4,2 es decir 4 unidades completas y 2/10 que simplificando quedaría escrito como 1/5 obteniéndose:
Es decir que 42/10 es exactamente igual a 4,2 y a su vez es exactamente igual a cuatro enteros y 1/5.
Cuando se tiene una fracción mixta se debe multiplicar las unidades con el denominador y a ese resultado sumarle el numerador.
Una vez se tiene ese resultado la fracción resultante será la suma realizada dividida entre el denominador.
Entonces el procedimiento a realizar es multiplicar las unidades que en este caso son 6 con el denominador que es 2 y sumarle el numerador que es uno, este resultado será el nuevo numerador y se mantiene el denominador que es 2 así:
Resolviendo se tiene que:
Entonces 6 enteros y un medio es igual a 13/2 que equivale a su vez a 6,5
Este tipo de fracción hace referencia a que se tiene una fracción mixta en el numerador o en el denominador de una nueva fracción más compleja.
Algunos ejemplos de fracciones compuestas son:
Las fracciones propias son aquellas donde el numerador es menor que el denominador siempre y cuando ambos sean mayores que cero.
Estos son algunos ejemplos de fracciones propias
Las fracciones impropias son aquellas donde el numerador es mayor que el denominador siempre y cuando ambos sean mayores que cero.
Estos son algunos ejemplos de fracciones impropias
Las fracciones unitarias son aquellas que al resolverse su valor equivale a uno (1) tienen como característica que el numerador y el denominador son iguales.
Estos son algunos ejemplos de fracciones unitarias
Las fracciones homogéneas son aquellas que tienen el mismo denominador, el numerador puede variar.
Estos son algunos ejemplos de fracciones homogéneas:
Las fracciones heterogéneas son aquellas que tienen diferente denominador, el valor del numerador no influye en la definición de la heterogeneidad.
Estos son algunos ejemplos de fracciones heterogéneas:
Son aquellas fracciones en los que el numerador y el denominador no tienen un divisor en común.
Estos son algunos ejemplos de fracciones irreducibles:
Las fracciones al ser números racionales están sujetos a ser operados matemáticamente, dentro de esto es posible sumar fraccionarios, restarlos, multiplicarlos, dividirlos y aplicar exponentes
El procedimiento para realizar suma de fracciones depende de si estás son homogéneas o si son heterogéneas, es decir si tienen o no el mismo denominador.
Cuando las fracciones son homogéneas, es decir tienen el mismo denominador, se deben sumar los numeradores y se mantiene el mismo denominador.
Por ejemplo si se quiere sumar 7/3 con 5/3
Otro ejemplo podría ser
Del mismo modo se mantiene el denominador y se suman los numeradores.
Cuando se tienen fracciones con diferente denominador, es decir fracciones heterogéneas el procedimiento para la suma cambia siendo así:
¿Complicado? para nada, vamos a hacer unos ejemplos para que te quede más claro:
Vamos a sumar 11/3 con 4/9:
Una vez se tienen las operaciones definidas se procede a solucionar:
Para que recuerdes una forma sencilla de realizar el orden de las operaciones en la suma de fraccionarios es con el emoji «XD» ya que se debe hacer:
Veamos otro ejemplo, para este caso sumaremos 1/2 + 1/3
En este caso 1/2 +1/3 equivale a 5/6
La resta de fraccionarios tiene las mismas condiciones que la suma, depende de si las fracciones tienen o no el mismo denominador.
Cuando las fracciones son homogéneas, es decir tienen el mismo denominador, se deben restar los numeradores y se mantiene el mismo denominador.
Por ejemplo si se quiere restar 6/3 con 8/3
En este caso como la segunda fracción es mayor el resultado queda negativo ya que 6-8 = -2
Otro ejemplo es si se quiere restar 9/7 – 4/7
Cuando se tienen fracciones con diferente denominador, es decir fracciones heterogéneas el procedimiento para la resta cambia siendo así:
Nuevamente puedes recordar el emoji «XD» pero esta vez con la resta
Vamos a realizar el procedimiento para restar 4/5-1/3
La multiplicación de fracciones es bastante sencilla, ya que no importa si son homogéneas o heterogéneas, se debe multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador, de este modo se obtiene tanto el numerador como el denominador de la respuesta.
Entonces si se quiere multiplicar por ejemplo 9/5 x 7/11 el procedimiento es:
La división también es un procedimiento sencillo donde se aplica la conocida ley de la oreja donde se multiplican los extremos y los medios de las fracciones y el resultado de la operación es extremos dividido entre medios.
Por ejemplo si se quiere dividir 25/12 entre 1/4 el procedimiento sería:
Para elevar una fracción a cualquier exponente se elevan el numerador y el denominador por separado a dicho exponente.
Por ejemplo si se quiere elevar 3/4 al cuadrado el procedimiento es:
Conociendo que hay fracciones equivalentes y en la búsqueda de simplificar las cifras se recomienda escribir cada expresión en la forma más simple posible, esa forma equivale a la fracción equivalente irreducible donde tanto el numerador y el denominador sean las más cercanas a cero.
Para lograr esto se debe descomponer cada número es sus múltiplos primos empezando con el dos.
Luego se cancelan los que se repitan tanto en el numerador como en el denominador y se deja el resultado de las operaciones resultantes.
Muchas veces te habrás encontrado con ejercicios de jerarquía de operaciones donde hay muchas operaciones matemáticas involucradas y no sabes bien cómo resolverlas, incluso en las redes sociales abundan preguntas como
Algunas personas dicen que la respuesta es cero, otras dicen que es 30, pero la respuesta correcta es 39 y en esta página te enseñaremos cómo se resuelve.
Se define a a jerarquía de operaciones en matemáticas como el orden en el que se deben realizar dichas operaciones de acuerdo con una serie de reglas establecidas.
Si no existiera un orden específico en la resolución de un problema sucedería lo que pasó en el ejemplo de la introducción 40×10-40/40, algunas personas pensarán que la respuesta del ejercicio es cero, otras que es 30 y otras 39 pero no se sabría quién tiene la razón.
Si esa operación matemática sirviera para calcular el pago que le deben hacer a un profesional por una hora de trabajo, algunos dirían que se le pagara cero dólares, otros 30 y lo justo sería pagarle 39 dólares, de ahí radica la importancia.
Toda la matemática es exacta de ahí que se requiere establecer el orden, o la jerarquía para la solución de las operaciones necesarias.
Como su nombre lo indica existe una jerarquía es decir operaciones más importantes que otras que se deben resolver primero, de la más importante a la menos importante tenemos:
| Orden de importancia | Operación matemática | Sigla |
| 1 | Paréntesis | P |
| 2 | Exponentes | E |
| 3 | Multiplicación División | M D |
| 4 | Adición Sustracción | A S |
Esto significa que:
La sigla PEMDAS es una abreviación de Paréntesis, Exponentes, Multiplicación, División, Adición y Sustracción por lo que es posible que encuentres mucha información sobre jerarquía de operaciones a través del método PEMDAS.
Debido a la alta importancia que tienen en la jerarquía de operaciones es importante reconocerlos e identificar su influencia en la operación, estos son:
Cada vez que veamos uno de estos símbolos debemos reconocer que hay agrupación en las operaciones matemáticas.
Existen otros signos que también tienen una función de agrupación pero no el mismo orden jerárquico, estos son:
De acuerdo con la cantidad y variedad de operaciones se pueden presentar diferentes casos que presentaremos a continuación:
En este caso aplica una de las primeras normas y es que las operaciones se resuelven de izquierda a derecha:
Ejemplo de sumas y restas sin signos de agrupación
7+4-8+6-2+10
Entonces resolviendo de izquierda a derecha se tiene que lo primero a resolver es
7+4=11
Por lo que ahora la operación queda escrita como:
11-8+6-2+10
Se procede a hacer lo mismo con los primeros dos valores de izquierda a derecha
11-8= 3
Se reescribe la operación:
3+6-2+10
Luego 3+6 = 9 quedando
9-2+10
Después 9-2 = 7
7+10 =17
Obteniendo como resultado final de toda la operación el número 17.
Recordemos que los signos de agrupación como paréntesis, llaves y corchetes tienen mayor jerarquía por lo que se deben resolver primero.
Ejemplo de sumas y restas con signos de agrupación
325-[(50+12)-(30+10)+(-20+15)]
Primero se deben resolver los paréntesis
50+12 = 62
30+10 = 40
-20+15= -5
Por lo que la operación quedaría escrita como:
325-[(62)-(40)+(-5)]
Luego para quitar los paréntesis utilizamos la ley de los signos quedando la operación así:
325-[62-40-5]
Luego se resuelve el corchete
62-40-5=17
quedando la operación
325-[17]
Nuevamente se aplica la ley de signos y queda
325-17 = 308
Recordemos que la multiplicación y la división tienen la misma jerarquía este caso aplica la primeras norma y es que las operaciones se resuelven de izquierda a derecha:
Ejemplo de operaciones de multiplicación y división sin signos de agrupación
4x-8x-2÷16
Nuevamente empezamos con los dos primeros factores de izquierda a derecha que son:
4x-8 = -32
Este resultado queda negativo de acuerdo con la ley de los signos y se reemplaza en la operación
-32x-2÷16
Nuevamente se toman los dos primeros factores
-32 x -2 = 64
Este resultado queda positivo de acuerdo con la ley de los signos y se reemplaza en la operación
64÷16 = 4
Lo más común es encontrar este tipo de operaciones donde hay sumas, restas, multiplicaciones y divisiones todo a la vez.
Ejemplo de operaciones combinadas sin signos de agrupación
Que mejor forma de empezar que con el ejercicio que abrió esta discusión, nuestro primer ejemplo
4 x 10 – 40 ÷ 40
De acuerdo con la jerarquía lo primero que debemos resolver son las multiplicaciones y las divisiones entonces tenemos una multiplicación y una división
Multiplicación: 4 x10 = 40
División: 40÷ 40 = 1
Luego se reemplazan esos resultados quedando
40-1
De allí que la respuesta a este ejercicio es 39, vamos a hacer ahora uno un poco más complicado.
Este es tal vez el caso donde todas las reglas salen a relucir, es importante tener claridad de cómo se deben resolver, veamos a través de varios ejemplos
Ejemplo 1 operaciones combinadas con signos de agrupación
Este caso representa un ejercicio con varias operaciones matemáticas a la vez entonces lo primero que debemos empezar a resolver son los paréntesis, en este caso tenemos 3 que son:
4-9 = -5
-5+1 = -4
3+2 = 5
De este modo nuestra operación quedaría escrita
De acuerdo con la jerarquía ahora se debe solucionar el corchete:
6-(-4) = 6+4 = 10
Por lo que nuestra operación queda escrita:
Siguiendo las normas de la jerarquía de operaciones siguen los exponentes, en este caso solo hay uno
-52=25
Por lo que la operación queda:
Luego se desarrollan las multiplicaciones donde la operación se reduce a:
3×25=75
Luego se realiza la suma y la operación queda
Lo último que se soluciona son los signos de agrupación diferentes a los paréntesis, corchetes y llaves que en este caso es la raya fraccionaría.
85/5=17
Por lo que al final 85 divido entre 5 nos da como respuesta final al ejercicio 17.
Ejemplo 2 operaciones combinadas con signos de agrupación
Una vez más nos guiamos por la jerarquía de las operaciones donde resolvemos primero los paréntesis quedando la operación expresada como
Luego solucionamos los exponentes quedando
Después siguiendo las reglas solucionamos las multiplicaciones
Seguido las sumas o restas, en este caso hay una resta
Finalmente los signos de agrupación secundarios que en este caso es la raíz cuadrada dando como resultado 8 en este ejemplo.
La ley de los signos o regla de los signos como se conoce en alguna bibliografía permite determinar el signo de un resultado final después de realizar operaciones con números reales.
Las operaciones donde se puede utilizar la ley de los signos son las sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potenciaciones y otras.
A través de una serie de reglas o normas se establecerá el comportamiento que tendrán los signos a medida que se realicen las operaciones matemáticas, la ley de los signos asigna a los números un (+) si son positivos, o un signo menos (-) si son negativos.
Los números positivos pueden escribirse con el signo más (+) antes del valor pero no es obligatorio, si un número no tiene signo se asume que es positivo, por ejemplo +8 = 8 cualquiera de las dos formas es válida en la escritura.
Debido al amplio uso de las operaciones matemáticas dentro de la cotidianidad de la humanidad la importancia de la correcta aplicación de la ley de signos permite tomar decisiones que pueden llegar a ser vitales.
Por ejemplo si se quisiera realizar una inversión en una potencial empresa y esta presenta sus resultados financieros pero por un error de signos dice que en este momento su balance es de – 450 000 dólares todos los posibles inversionistas se abstendrían de realizar la inversión porque el signo negativo muestra que la empresa está en pérdidas.
Dependiendo de la operación matemática que se quiera realizar se establecen las reglas con las cuales funciona la ley de este modo tenemos:
En algunas operaciones matemáticas la regla de los signos indica que se debe dejar el signo del valor mayor (SVM) entre dos números, esto significa que se deben evaluar los valores absolutos de los dos números involucrados en la operación y el signo que tenga el número con mayor valor absoluto será el signo del resultado, tranquilo en unos momentos te mostraremos en qué casos se utiliza esto con varios ejemplos.
Cuando se realizan operaciones de suma con números reales, se deben seguir las siguientes reglas:
Si los dos números a sumar son positivos, es decir que ambos son mayores que cero entonces se suman sus valores y se mantiene el signo positivo.
Ejemplo:
7+8 = 15
12+4=16
20+30=50
Si los dos números a sumar son negativos, es decir que ambos son menores que cero entonces se suman sus valores y se mantiene el signo negativo.
Ejemplo:
-25+(-12) = -37
-6 + (-7) = -13
-18 + (-9) = -27
Si se suma un número positivo con uno negativo, o al revés si se suma un número negativo con uno positivo se deben restar el de mayor magnitud con el de menor magnitud y se deja el signo del SVM es decir del que tenga una mayor magnitud.
Ejemplo:
-14+4 = -10
En este caso se restan 14-4= 10 , pero como el número de mayor valor absoluto SVM es -14 se debe dejar ese signo, en este caso es negativo por lo que la respuesta final es -10.
15 + (-10) = 5
En este caso se restan 15-10= 5 , el número de mayor valor absoluto SVM es +15 se debe dejar ese signo, en este caso es positivo por lo que la respuesta final es +5 o 5.
8+(-12) = -4
En este caso se restan 12-8= 4 , pero como el número de mayor valor absoluto SVM es -12 se debe dejar ese signo, en este caso es negativo por lo que la respuesta final es -4.
Cuando se tiene una resta se debe cambiar el signo del sustraendo (recuerda que si se tiene a–b entonces a es el minuendo y b es el sustraendo) luego de cambiar el signo se suman los números de acuerdo con el procedimiento y con las mismas reglas de la suma.
Ejemplo 1 ley de signos en la resta
Se quieren restar los números 10 y 7 entonces lo primero es cambiar el signo del sustraendo y hacer la suma, de este modo la operación quedaría:
10-7
10+(-7) = 3
En este caso el número de mayor valor absoluto SVM es +10 entonces se debe dejar ese signo, en este caso es positivo por lo que la respuesta final es +3 o 3.
Ejemplo 2 ley de signos en la resta
Se quieren restar los números 12 y -8 entonces lo primero es cambiar el signo del sustraendo y hacer la suma de este modo la operación quedaría:
12 – (-8)
12 + (8) = 20
Como ambos números eran positivos el resultado se mantiene positivo, la respuesta final es 20 o +20.
Ejemplo 3 ley de signos en la resta
Se quieren restar los números -1 y -7 entonces lo primero es cambiar el signo del sustraendo y hacer la suma de este modo la operación quedaría:
-1 – (-7)
-1+7 = 6
En este caso el número de mayor valor absoluto SVM es +7 entonces se debe dejar ese signo, en este caso es positivo por lo que la respuesta final es +6 o 6.
Recordemos que en la resta se cambia el signo del sustraendo y se hace el mismo procedimiento que la suma por lo tanto el resumen quedaría igual que el de la suma:
Las reglas de la ley de los signos en la multiplicación es tal vez una de las más conocidas por todos los estudiantes, estas son:
En otras palabras si se multiplican dos números y estos tienen el mismo signo el resultado será positivo de lo contrario el resultado será negativo.
Ejemplos:
20 x 3 = 60
-15 x 2 = -30
4 x -7 = -28
-6 x – 12 = 72
Las reglas de la ley de los signos en la división son iguales a los de la multiplicación, estas son:
En otras palabras si se dividen dos números y estos tienen el mismo signo el resultado será positivo de lo contrario el resultado será negativo.
Ejemplos:
21 / 3 = 7
-16 / 2 = -8
4 /-4 = -1
-6 /- 12 = 0,5
Para la potenciación el signo del resultado depende del signo de la base y el exponente, teniendo eso en cuenta se tienen las siguientes reglas:
Ejemplo:
-32 = 9
44=256
-23=-8
-24=16
Cuando se tienen paréntesis dentro de las operaciones es importante conocer las siguientes reglas:
Ejemplo 1 simplificación de paréntesis
7-(-3+8)
Lo primero que debemos hacer es resolver lo que se encuentre dentro del paréntesis
7-(+5)
Hay dos signos seguidos el (-) y el (+) por lo que los multiplicamos, recordemos que si son diferentes el resultado es negativo por lo que se reduce a:
7-5
2
El resultado en este caso es 2.
Ejemplo 2 simplificación de paréntesis
-(8x(3-6))
Resolvemos primero lo del paréntesis más pequeño
-(8x(-3))
Luego realizamos la multiplicación
-(-24)
Como quedan dos signos seguidos realizamos la multiplicación de estos, dos signos iguales al multiplicarse se tiene como resultado un valor positivo.
+24
El resultado en este caso es 24.
Si quieres conocer más información al respecto y conocer un poco más de la jerarquía de las operaciones te invitamos a seguir consultando la información en nuestra página.
Los números enteros son el conjunto que contienen a todos los números naturales, a sus inversos negativos y al cero. Este conjunto es el primero que contiene al cero y a los números negativos.
Teniendo esto en cuenta te preguntarás ¿los números 1, 2, 3, 4, 5… entonces son naturales o son enteros? la respuesta es que son ambos, tanto naturales como enteros, a diferencia por ejemplo del -1, -2, -3, -4… que no son números naturales, son estrictamente números enteros.
En otras palabras todos los números naturales también son números enteros, pero no todos los números enteros son números naturales.
Este conjunto nace de la necesidad de realizar restas de números naturales donde el minuendo era menor que el sustraendo, es decir que a un número cualquiera se le restaba un número mayor, por ejemplo:
Esto le permitió a la humanidad tener una representación numérica de situaciones que vivían pero no podían plasmar matemáticamente como por ejemplo las deudas que tenía un comerciante, profundidades respecto al mar, temperaturas por debajo cero, entre muchas otras.
Es importante resaltar que los números enteros son un subconjunto de los números reales.
Los números enteros se representan a través de la letra Z.
Los números positivos, que son mayores a cero se escriben sin ningún símbolo adicional y los números negativos, que son menores que cero llevan el signo menos antes del valor.
Un número entero positivo se lee igual que los números naturales, por ejemplo el 10 se lee como diez, a los números enteros negativos al anteponerse el signo menos también se debe leer entonces -10 se lee como menos diez.
Si se utiliza la recta real los números enteros abarcan los puntos discretos desde menos infinito hasta más infinito, por lo que cualquier punto discreto de la recta es un número entero.
Como se puede observar la parte izquierda de la recta contiene a los números enteros negativos, la parte derecha contiene a los números enteros positivos y el centro es el cero.
Las partes tanto positiva como negativa se pueden analizar como si hubiese un espejo en el cero, son simétricas pero con signos diferentes.
Otra forma común de representar este conjunto es a través del dominio, nuevamente el número entero es cualquier número discreto que se encuentre en el intervalo desde menos infinito hasta más infinito (-∞, ∞)
Los números enteros tienen una gran cantidad de aplicaciones en varios campos por ejemplo:
Los enteros positivos: sirven para mostrar estados de ganancias, temperaturas positivas, distancias hacía la derecha, indicadores de eficiencia.
Los enteros negativos: sirven para mostrar deudas, pérdidas, temperaturas bajo cero, entre otras.
Ejemplos de enteros
La temperatura en el polo sur es de -45°C en invierno
Juan le debe 2000 dólares a Pedro, su estado financiero en este momento se encuentra en -2000 dólares.
Este conjunto tiene varias características que los hacen particulares:
Orden
Los números enteros tienen un orden creciente, cada uno es el anterior más uno, de este modo podemos conocer la posición de cualquier número, por ejemplo sabemos que el número 15 va después del número 14 y a su vez el número 14 va después del 13.
En el caso de los números enteros negativos entre más a la derecha se encuentre en la recta mayor será, por ejemplo -1 es mayor que -3.
Como regla general cualquier número entero positivo siempre es mayor que cualquier número entero negativo.
Este orden trae como consecuencia que hayan números enteros mayores o menores que otros.
Por ejemplo podemos decir que 15 es mayor que 14 o sea 15>14 y siguiendo la misma lógica podemos decir que -8 es menor que 10, o sea -8<10.
Conjunto discreto
Los números enteros son un conjunto discreto, es decir entre el número 1 y el número 2 no hay ningún otro número entero, así mismo entre el -8 y el -7 tampoco hay ningún número entero, esto permite conocer la cantidad de números enteros que hay entre dos elementos.
Infinitud
Los números enteros son infinitos tanto en su lado negativo como en su lado positivo, siempre hay un número mayor y siempre hay un número menor, por grande que parezca, por ejemplo si se piensa en el número 9999999948423 parece grande pero después de él está el 9999999948424 y luego el 9999999948425, no hay un final, siempre hay un número entero más grande que el anterior. Por el lado negativo si se piensa en -9999999948423 hay otro número menor que sería -9999999948424 y así sucesivamente hasta el menos infinito.
Inicio indefinido
Los números enteros no tienen un inicio ni un final por sus propiedades de infinitud se diría que empieza en menos infinito y termina en el infinito.
En algunas ocasiones es necesario conocer la distancia a la que se encuentra un número del cero en la recta numérica, de allí nace el concepto de valor absoluto.
El valor absoluto de un número se representa con líneas verticales a los lados del número.
Por ejemplo veamos el valor absoluto del número 4, o sea |4|
La distancia entre el 0 y 4 son 4 unidades por lo que el valor absoluto de 4 equivale a 4:
|4| = 4
Ahora veamos un ejemplo con un número negativo, veamos el valor absoluto de -3, es decir |-3|
Es decir que la distancia entre el -3 y el cero es de 3 unidades por lo que:
|-3| = 3
De este modo se tiene que el valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitar el signo, por ejemplo:
|-8| = 8
|-23| = 23
|13| = 13
|56| = 56
|-30| = 30
Se pueden realizar las operaciones matemáticas básicas suma, resta, multiplicación y división:
Para sumar dos números enteros se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
Ejemplo suma de enteros positivos:
7+8
Se sacan los valores absolutos
|7|= 7
|8|= 8
Se suma 7+8 = 15 y se mantiene el signo que en este caso es positivo por lo que no se escribe, es decir cuando ambos números son enteros positivos es como realizar una suma normal.
Ejemplo suma de enteros negativos:
-7+(-8)
Se sacan los valores absolutos:
|-7|= 7
|-8|= 8
Se suman: 7+8 = 15 y se mantiene el signo inicial de los números que en este caso era negativo entonces:
-7 + (-8) = -15
El resultado en este caso es -15.
Ejemplo suma de enteros con diferente signo:
10+(-5)
Se sacan los valores absolutos:
|10|= 10
|-5|= 5
Se identifica el mayor valor absoluto en este caso es 10. Luego se resta el mayor con el menor así:
10-5 = 5
Se deja el signo del número con valor absoluto mayor que era el 10 como era positivo entonces el resultado de toda la operación también será positivo
10+(-5) =5
Ejemplo #2 suma de enteros con diferente signo:
-20+4
Se sacan los valores absolutos:
|-20|= 20
|4|= 4
Se identifica el mayor valor absoluto en este caso es 20. Luego se resta el mayor con el menor así:
20-4 = 16
Se deja el signo del número con valor absoluto mayor que era el 20 como era negativo entonces el resultado de toda la operación también será negativo
-20+4 = -16
Otros ejemplos de suma de enteros:
56+14= 70
-40+20=-20
-30+(-30)=-60
12+8 = 20
12+(-9)= 3
Los números enteros cumplen tres propiedades las cuales son:
Propiedad conmutativa:
Si dos números pertenecen a los números enteros entonces el resultado de sumar el primero más el segundo es exactamente igual que sumar el segundo más el primero.
Matemáticamente se representa: si x,y ∈ Z, entonces x+y=y+x
Ejemplo: El número 14 pertenece a los enteros, el número 6 pertenece también a los enteros, entonces: 14+6 = 20 = 6+14
Lo mismo sucede con los números negativos:
-6 + (-4) = -10 = -4 + (-6)
Propiedad asociativa:
Si se tienen tres números enteros la suma de los dos primero más el tercero es exactamente igual que si se sumaran los dos últimos más el primero.
Matemáticamente se representa: si x,y,a ∈ >Z, entonces (x+y)+a=x+(y+a)
Ejemplo: Se tienen los números -4, -10 y 6 entonces:
(-4+(-10))+6
-14+6
-8
Por otro lado
-4+(-10+6)
-4+(-4)
-8
Entonces (-4+(-10))+6 = -8 =-4+(-10+6)
Neutro aditivo
Existe un elemento que al ser sumado con cualquier otro número entero se obtiene como resultado el mismo número entero. Ese elemento es el número cero.
Matemáticamente se representa: Existe 0 ∈ Z, tal que x+0=x para todo x ∈ Z
Ejemplo: Se tiene un número entero cualquiera para este ejemplo -18 entonces -18 + 0 = -18
La resta de los números enteros es una particularidad de la suma por lo que es muy sencilla de realizar.
Se tienen dos números a y b que son números enteros y que vamos a restar a-b (a minuendo menos b sustraendo) para poder hacer esta operación simplemente cambiamos de signo a b el sustraendo y sumamos.
Ejemplo:
Tenemos los números 11 y 5 queremos realizar la resta, entonces le cambiamos el signo al número 5, pasa a ser -5 y se suma:
11-5
11+(-5) = 6
Entonces 11 menos 5 es igual a 6
Tenemos los números 8 y -4 queremos realizar la resta, le cambiamos el signo a -4 quedando 4 y sumamos:
8-(-4)
8+4 = 12
Entonces 8 menos -4 es igual a 12.
Tenemos los números -6 y -15 queremos realizar la resta entonces le cambiamos el signo a -15 quedando 15 y sumamos:
-6 – (-15)
-6+15 = 9
Entonces -6 menos -15 es igual a 9.
Para la multiplicación y división de los números enteros se realiza un procedimiento similar al de la suma donde se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
Para la multiplicación y para la división se saca el valor absoluto de los números que se quieren operar y luego se determina el signo siguiendo las siguientes reglas:
Esto se basa en la regla o ley de los signos.
Ejemplo:
-6 * -4 = 24
-6 x 5 = -30
7 x 8 = 56
8/-4 = -2
4/2 = 2
Propiedad conmutativa
Si dos números pertenecen a los números enteros entonces el resultado de multiplicar el primero por el segundo es exactamente igual que multiplicar el segundo por el primero.
Matemáticamente se representa: si x,y ∈ Z, entonces xy=yx
Ejemplo: El número 14 pertenece a los enteros, el número 6 pertenece también a los enteros, entonces: 14×6 = 84 = 6×14
Propiedad asociativa
Si se tienen tres números enteros la multiplicación de los dos primero por el tercero es exactamente igual que si se multiplicaran los dos últimos por el primero.
Ejemplo: Se tienen los números -4, -10 y 6 entonces:
(-4x(-10))x6
40×6
240
Por otro lado
-4x(-10×6)
-4x(-60)
240
Entonces (-4x(-10))x6 = 240 =-4x(-10×6)
Propiedad del neutro multiplicativo
Existe un elemento que al ser multiplicado con cualquier otro número entero se obtiene como resultado el mismo número entero. Ese elemento es el número uno.
Matemáticamente se representa: Existe 1 ∈ Z , (1≠0) tal que x(1)=(1)x=x para todo x ∈ Z
Ejemplo: Se tiene a -24 entonces -24 x 1 = -24
Propiedad de inverso multiplicativo
Para cualquier número entero existe un inverso multiplicativo que al ser multiplicados el resultado es uno.
Matemáticamente se representa:
Para cada x≠0 ∈ Z, existe x-1 ∈ Z tal que x-1x = 1
Ejemplo: Se tiene a -20 por lo que existe -1/20 tal que:
-20 x (-1/20) = 1
Propiedad distributiva de la multiplicación en la suma
Si se tienen tres números, dos de ellos se están sumando y se quieren multiplicar por el tercero, el resultado es equivalente a la multiplicación del primero con el tercero más la multiplicación del segundo con el tercero.
Matemáticamente se representa:
si x,y,a ∈ Z, entonces (x+y)a=xa+ya
Ejemplo: Se tienen 3 números 5,6,7 entonces:
(5+6) x 7
11 x 7
77
(5 x 7) + (6 x 7)
35+42
77
(5+6) x 7 = 77 = (5 x 7) + (6 x 7)
Es importante recalcar que la división en los números enteros no cumplen con las propiedades asociativa, conmutativa ni la distributiva.
Los números naturales surgen de la necesidad que tuvo la humanidad para contar y organizar objetos, aunque inicialmente se utilizaban piedras o palos para este fin, con el tiempo fue necesaria la creación de símbolos que representaran las cantidades y nacieron los números como los conocemos 1, 2, 3, 4, etc…
Son un subconjunto de los números reales. De acuerdo con la definición formal son el conjunto de elementos discretos que pertenecen a la recta real y que pueden o no incluir al número cero.
Existen varias formas de representarlos
El conjunto de números naturales se representa con la letra N.
Si se desea representar como un conjunto sería:
En la recta numérica el conjunto de números naturales está representado por:
Son utilizados en el día a día sin embargo los usos más importantes son:
Contabilizar los elementos de un conjunto
El conteo de elementos de un conjunto es una actividad que día a día realizamos, por ejemplo:
Hay cuatro huevos en la imagen, el número cuatro denota una cantidad.
Expresar posición u orden de los elementos del conjunto
En muchas ocasiones es necesario establecer la posición de un elemento dentro del conjunto, allí nace otra utilidad, por ejemplo:
Mi hija Mónica quedó en el lugar número 1, en este caso el número natural hace referencia a una posición u orden dentro de un conjunto.
Identificación y diferenciación de los elementos de un conjunto
Este conjunto se utiliza también en la identificación y diferenciación de los elementos de un conjunto. Por ejemplo:
Mark está feliz porque ingresó a trabajar al hospital distrital, su número de trabador es 54 621 y su carnet así lo acredita, en este caso los números naturales sirven para identificar y diferenciar a cada uno de los trabajadores del hospital.
Este conjunto tiene varias características que los hacen particulares:
Orden
Los números naturales tienen un orden creciente, cada uno es el anterior más uno, de este modo podemos conocer la posición de cualquier número.
Por ejemplo sabemos que el número 15 va después del número 14 y a su vez el número 14 va después del 13.
Este orden trae como consecuencia que hayan números naturales mayores o menores que otros.
Por ejemplo podemos decir que 15 es mayor que 14 o sea 15>14 y siguiendo la misma lógica podemos decir que 8 es menor que 10, o sea 8<10.
Conjunto discreto
Los números naturales son un conjunto discreto, es decir entre el número 1 y el número 2 no hay ningún número natural.
Es posible conocer la cantidad de números naturales que hay entre dos elementos.
Infinitud
Los números naturales son infinitos, siempre hay un número mayor, por grande que parezca, por ejemplo si se piensa en el número 9999999948423 parece grande pero después de él está el 9999999948424 y luego el 9999999948425.
No hay un final, siempre hay un número natural más grande que el anterior.
Inicio definido
Aunque los números naturales no tienen un final por sus propiedades de infinitud estos sí tienen un inicio, de este modo el número uno (1) es el primer número natural.
Como te decíamos anteriormente los números naturales son infinitos sin embargo aquí te presentamos los cien primeros
| Nombre | Símbolo | Nombre | Símbolo |
| Uno | 1 | Cincuenta y uno | 51 |
| Dos | 2 | Cincuenta y dos | 52 |
| Tres | 3 | Cincuenta y tres | 53 |
| Cuatro | 4 | Cincuenta y cuatro | 54 |
| Cinco | 5 | Cincuenta y cinco | 55 |
| Seis | 6 | Cincuenta y seis | 56 |
| Siete | 7 | Cincuenta y siete | 57 |
| Ocho | 8 | Cincuenta y ocho | 58 |
| Nueve | 9 | Cincuenta y nueve | 59 |
| Diez | 10 | Sesenta | 60 |
| Once | 11 | Sesenta y uno | 61 |
| Doce | 12 | Sesenta y dos | 62 |
| Trece | 13 | Sesenta y tres | 63 |
| Catorce | 14 | Sesenta y cuatro | 64 |
| Quince | 15 | Sesenta y cinco | 65 |
| Dieciséis | 16 | Sesenta y seis | 66 |
| Diecisiete | 17 | Sesenta y siete | 67 |
| Dieciocho | 18 | Sesenta y ocho | 68 |
| Diecinueve | 19 | Sesenta y nueve | 69 |
| Veinte | 20 | Setenta | 70 |
| Veintiuno | 21 | Setenta y uno | 71 |
| Veintidos | 22 | Setenta y dos | 72 |
| Veintitres | 23 | Setenta y tres | 73 |
| Veinticuatro | 24 | Setenta y cuatro | 74 |
| Veinticinco | 25 | Setenta y cinco | 75 |
| Veintiseis | 26 | Setenta y seis | 76 |
| Veintisiete | 27 | Setenta y siete | 77 |
| Veintiocho | 28 | Setenta y ocho | 78 |
| Veintinueve | 29 | Setenta y nueve | 79 |
| Treinta | 30 | Ochenta | 80 |
| Treinta y uno | 31 | Ochenta y uno | 81 |
| Treinta y dos | 32 | Ochenta y dos | 82 |
| Treinta y tres | 33 | Ochenta y tres | 83 |
| Treinta y cuatro | 34 | Ochenta y cuatro | 84 |
| Treinta y cinco | 35 | Ochenta y cinco | 85 |
| Treinta y seis | 36 | Ochenta y seis | 86 |
| Treinta y siete | 37 | Ochenta y siete | 87 |
| Treinta y ocho | 38 | Ochenta y ocho | 88 |
| Treinta y nueve | 39 | Ochenta y nueve | 89 |
| Cuarenta | 40 | Noventa | 90 |
| Cuarenta y uno | 41 | Noventa y uno | 91 |
| Cuarenta y dos | 42 | Noventa y dos | 92 |
| Cuarenta y tres | 43 | Noventa y tres | 93 |
| Cuarenta y cuatro | 44 | Noventa y cuatro | 94 |
| Cuarenta y cinco | 45 | Noventa y cinco | 95 |
| Cuarenta y seis | 46 | Noventa y seis | 96 |
| Cuarenta y siete | 47 | Noventa y siete | 97 |
| Cuarenta y ocho | 48 | Noventa y ocho | 98 |
| Cuarenta y nueve | 49 | Noventa y nueve | 99 |
| Cincuenta | 50 | Cien | 100 |
Los números naturales se prestan para realizar las cuatro operaciones básicas de la matemática
Cualquier número natural puede ser sumado con otro número natural y el resultado que se obtenga también va a pertenecer al conjunto de los números naturales.
Adicional a esto la suma presenta propiedades conmutativas y asociativas
Propiedad conmutativa
Sumar un número natural a con un número natural b es exactamente igual que sumar b con a.
Por ejemplo 5 + 3 = 8 y a su vez 3 + 5 = 8
Propiedad asociativa
Si se tienen tres números naturales, la suma de los dos primeros más el tercero es equivalente a la suma de los dos últimos más el primero, es decir:
Por ejemplo (4+6)+5 es igual a 10+5=15 si establecemos la propiedad asociativa tenemos que 4+(6+5) = 4+11 = 15
Para que el resultado de una resta pertenezca al conjunto de números naturales al número base se le debe restar un número menor.
De lo contrario se tendrá como resultado un número negativo y recordemos que todos los números naturales son positivos.
Por ejemplo 10 y 4 pertenecen a los números naturales entonces 10-4 = 6 el resultado 6 también pertenece a los números naturales. Pero si el número que se resta es mayor por ejemplo 10 y 15 entonces 10-15=-5 ese valor negativo no se encuentra dentro de los números naturales.
Cualquier número natural puede ser multiplicado con otro número natural y el resultado que se obtenga también va a pertenecer al conjunto de los números naturales.
Adicional a esto la multiplicación presenta propiedades conmutativas y asociativas
Propiedad conmutativa
Multiplicar un número natural a con un número natural b es exactamente igual que multiplicar b con a.
Por ejemplo 5 x 3 = 15 y a su vez 3 x 5 = 15
Propiedad asociativa
Si se tienen tres naturales, la multiplicación de los dos primeros por el tercero es equivalente a la multiplicación de los dos últimos por el primero.
Es decir:
Por ejemplo (4×6)x5 es igual a 24×5=120 si establecemos la propiedad asociativa tenemos que 4x(6×5) = 4×30 = 120
Para que el resultado de una división pertenezca al conjunto de naturales el número base debe ser múltiplo del número divisor.
De lo contrario se tendrá como resultado un número decimal y recordemos que todos los naturales son discretos.
Por ejemplo 12 y 4 pertenecen a los naturales entonces 12/4 = 3 el resultado 3 también pertenece a los naturales.
Si el número que divide fuera otro que no sea múltiplo por ejemplo 12 y 10 entonces 12/10=1,2 ese valor decimal no se encuentra dentro de los naturales.
A lo largo de la historia se han presentado varias propuestas para axiomatizar la noción normal de los números naturales, sin embargo las más importantes han sido las propuestas de Peano y la teoría de conjuntos.
Esta definición más elaborada fue simplificada por Von Neumann donde se estableció que:
Donde hay un orden total estricto en x y todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden perteneciente de x.
Por definición los números reales son todos aquellos que se puede representar como un punto en la recta numérica real, allí están incluidos los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números irracionales.
En otras palabras es cualquier número que se encuentre en el intervalo desde menos infinito hasta más infinito (-∞, ∞)
Los números reales se representan a través de la letra R.
Si se utiliza la recta real los números reales abarcan todos los puntos desde menos infinito hasta más infinito, por lo que cualquier punto de la recta es un número real.
Otra forma común de representar los números reales es a través del dominio, nuevamente el número real es cualquier número que se encuentre en el intervalo desde menos infinito hasta más infinito (-∞, ∞)
Los números reales tienen cuatro características principales que son:
Los números reales son infinitos, desde un punto de vista más técnico se puede decir que la cantidad de elementos del conjunto de números reales es infinita, no tiene final y son infinitos tanto del lado positivo como del lado negativo.
Aunque la cantidad de números reales es infinita todos tienen un orden, se puede conocer la posición de cada número real en la recta, entre más a la derecha se encuentre el número este será mayor, por lo tanto, entre más a la izquierda se encuentre un número este será menor.
Por ejemplo si tomamos dos números reales cualquiera, supongamos a y b existen dos posibilidades:
De este modo podemos establecer el orden de todos y cada uno de los números reales.
El conjunto de los números reales es integral, esto significa que no hay espacios vacíos, por ejemplo entre el número 1 y el número 2 hay también una cantidad infinita de números, por ejemplo el 1,1 el 1,2 el 1,3 y así sucesivamente, pero entre el número 1,1 y el número 1,2 también hay una cantidad infinita de elementos que son por ejemplo 1,11 – 1,12 -1,13…
Matemáticamente se establece esta característica como que cada conjunto tiene un límite superior y tiene un límite inferior más pequeño.
Los números reales se pueden expresar como decimales y su expansión (o longitud) puede ser finita o infinita. Por ejemplo los números irracionales tienen cifras decimales infinitas e irrepetibles, por ejemplo la raíz cuadrada de dos es aproximadamente 1,4142135623… hay otros números que tienen expansiones finitas, es decir que tienen un final, por ejemplo el 1/2 que equivale a 0,5 y hay otros números que tienen expansiones infinitas pero que son periódicas, es decir que se repiten por ejemplo 1/3 que es 0,3333333…
Todos los números reales tienen una aplicación bien sea en cantidades continuas como longitud o tiempo así como en cantidades no continuas para hacer cálculos matemáticos.
Los números reales tienen 15 axiomas que en alguna bibliografía también se conocen como propiedades que son:
Si un número cualquiera pertenece a los números reales y se suma con otro número que también pertenezca a los números reales el resultado de esa adición también pertenecerá a los números reales sin importar cuáles dos números se hayan tomado inicialmente.
Matemáticamente se representa: si x,y ∈ ℝ entonces x+y ∈ ℝ.
Ejemplo: el número 5 pertenece a los reales, el número -8 pertenece a los reales entonces 5 + (-8) = -3 esto hace que por definición -3 también pertenezca a los números reales.
Si dos números pertenecen a los números reales entonces el resultado de sumar el primero más el segundo es exactamente igual que sumar el segundo más el primero.
Matemáticamente se representa: si x,y ∈ ℝ, entonces x+y=y+x
Ejemplo: El número 14 pertenece a los reales, el número 6 pertenece también a los reales, entonces: 14+6 = 20 = 6+14
Si se tienen tres números reales la suma de los dos primero más el tercero es exactamente igual que si se sumaran los dos últimos más el primero.
Matemáticamente se representa: si x,y,z ∈ ℝ, entonces (x+y)+z=x+(y+z)
Ejemplo: Se tienen los números -4, -10 y 6 entonces:
(-4+(-10))+6
-14+6
-8
Por otro lado
-4+(-10+6)
-4+(-4)
-8
Entonces (-4+(-10))+6 = -8 =-4+(-10+6)
Existe un elemento que al ser sumado con cualquier otro número real se obtiene como resultado el mismo número real. Ese elemento es el número cero.
Matemáticamente se representa: Existe 0 ∈ ℝ, tal que x+0=x para todo x ∈ ℝ
Ejemplo: Se tiene un número real π (pi) entonces π + 0 = π
Para cualquier número real existe un inverso aditivo que al ser sumado con el número el resultado es cero.
Matemáticamente se representa:
Para cada x ∈ ℝ, existe -x ∈ ℝ tal que x+(-x) =0
Ejemplo: Se tiene un número real 2/3 por lo que existe -2/3 y:
2/3 + (-2/3) = 0
Si un número cualquiera pertenece a los números reales y se multiplica con otro número que también pertenezca a los números reales el resultado de esa multiplicación también pertenecerá a los números reales sin importar cuáles dos números se hayan tomado inicialmente.
Matemáticamente se representa: si x,y ∈ ℝ entonces xy ∈ ℝ.
Ejemplo: el número 5 pertenece a los reales, el número -8 pertenece a los reales entonces 5 x (-8) = -40 esto hace que por definición -40 también pertenezca a los números reales.
Si dos números pertenecen a los números reales entonces el resultado de multiplicar el primero por el segundo es exactamente igual que multiplicar el segundo por el primero.
Matemáticamente se representa: si x,y ∈ ℝ, entonces xy=yx
Ejemplo: El número 14 pertenece a los reales, el número 6 pertenece también a los reales, entonces: 14×6 = 84 = 6×14
Si se tienen tres números reales la multiplicación de los dos primero por el tercero es exactamente igual que si se multiplicaran los dos últimos por el primero.
Matemáticamente se representa: si x,y,z ∈ ℝ, entonces (xy)z=x(yz)
Ejemplo: Se tienen los números -4, -10 y 6 entonces:
(-4x(-10))x6
40×6
240
Por otro lado
-4x(-10×6)
-4x(-60)
240
Entonces (-4x(-10))x6 = 240 =-4x(-10×6)
Existe un elemento que al ser multiplicado con cualquier otro número real se obtiene como resultado el mismo número real. Ese elemento es el número uno.
Matemáticamente se representa: Existe 1 ∈ ℝ , (1≠0) tal que x(1)=(1)x=x para todo x ∈ ℝ
Ejemplo: Se tiene un número real π (pi) entonces π x 1 = π
Para cualquier número real existe un inverso multiplicativo que al ser multiplicado con el número real el resultado es uno.
Matemáticamente se representa:
Para cada x≠0 ∈ ℝ, existe x-1 ∈ ℝ tal que x-1x = 1
Ejemplo: Se tiene un número real 2/3 por lo que existe 3/2 tal que:
2/3 x (3/2) = 1
Si se tienen tres números, dos de ellos se están sumando y se quieren multiplicar por el tercero, el resultado es equivalente a la multiplicación del primero con el tercero más la multiplicación del segundo con el tercero.
Matemáticamente se representa:
si x,y,z ∈ ℝ, entonces (x+y)z=xz+yz
Ejemplo: Se tienen 3 números 5,6,7 entonces:
(5+6) x 7
11 x 7
77
(5 x 7) + (6 x 7)
35+42
77
(5+6) x 7 = 77 = (5 x 7) + (6 x 7)
Si se toman dos números reales al azar existen únicamente tres posibilidades:
Matemáticamente se representa: si x,y ∈ ℝ, entonces solo se cumple una de estas:
Si se tienen tres números tales que el primero es mayor que el segundo y el segundo es mayor que el tercero entonces el primero también es mayor que el tercero.
Matemáticamente se representa: si x,y,z ∈ ℝ, x>y ; y>z entonces x>z
Ejemplo: se tienen tres números reales 20, 5 y -2
20 > 5
5 > -2
Por lo tanto 20 > -2
Si un número real es mayor que otro y a ambos se les suma la misma cantidad el resultado de la suma que contiene al número que era mayor seguirá siendo mayor que el resultado de la suma que contiene al número menor.
Matemáticamente se representa: si x,y,z ∈ ℝ, x>y entonces x+z > y+z
Ejemplo: se tienen tres números reales 7, 3 y -1 entonces
7 > 3
7+(-1) > 3+ (-1)
6 > 2
Si un número real es mayor que otro y a ambos se les multiplica por la misma cantidad el resultado de la multiplicación que contiene al número que era mayor seguirá siendo mayor que el resultado de la multiplicación que contiene al número menor, siempre y cuando se haya multiplicado por un número mayor a cero.
Matemáticamente se representa: si x,y,z ∈ ℝ, x>y 0< z entonces xz > yz
Ejemplo: se tienen tres números reales 10, 5 y 2 entonces
10 > 5
10 x 2 > 5 x 2
20 > 10
Los números reales están conformados por cuatro subconjuntos de números que son
Los números naturales fueron los primeros números que se utilizaron y nacieron de la necesidad de contar. Estos son el 1, 2, 3, 4, 5, 6… hasta el infinito, hay que hacer una claridad y es que el número cero no se encuentra incluido dentro de los números naturales.
Todos los números naturales son la combinación de los diez dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 no hay letras ni símbolos especiales para escribirlos.
El conjunto compuesto por los números naturales se designa con la letra N.
Ejemplos de números naturales
Los números naturales sirven para contar por ejemplo cuántas personas hay un recinto: «a este recinto asistieron 50 personas» también nos sirve para contar la cantidad de vehículos en un parqueadero: «en este parqueadero hay 4 vehículos» entre otros muchos ejemplos.
El conjunto de números enteros comprende a absolutamente todos los números naturales, a sus números simétricos es decir los que quedan al otro lado de la recta y al cero.
Un número simétrico es aquel que sumado con su correspondiente número natural da como resultado cero. Por ejemplo el simétrico de x es -x, el simétrico de 20 es -20 y así sucesivamente.
Teniendo en cuenta los elementos de este conjunto se puede decir que todos los números naturales también son números enteros, pero no todos los números enteros son números naturales.
Los números enteros se designan con la letra Z y se representan como:
Los números positivos, que son mayores a cero se escriben sin ningún símbolo adicional y los números negativos, que son menores que cero llevan el signo menos antes del valor.
Z={-∞…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4… ∞}
Función de los números enteros
Los números enteros tienen una gran cantidad de aplicaciones en varios campos por ejemplo:
Los números enteros positivos: sirven para mostrar estados de ganancias, temperaturas positivas, distancias hacía la derecha, indicadores de eficiencia.
Los números enteros negativos: sirven para mostrar deudas, pérdidas, temperaturas bajo cero, entre otras.
Ejemplos de números enteros
La temperatura en el polo sur es de -45°C en invierno
Juan le debe 2000 dólares a Pedro, su estado financiero en este momento se encuentra en -2000 dólares.
Los números racionales también conocidos como fraccionarios nacen como una necesidad de dividir cantidades enteras, por ejemplo cuando un padre dejaba un terreno como herencia de 100 hectáreas y esta se debía dividir exactamente entre 3 hijos empezaban a surgir los problemas.
De allí nacen los números racionales que se designan con la letra Q.
Los números racionales son la fracción originada a partir de dos números enteros cuyo denominador es diferente de cero.
Ejemplos de números racionales
Un pastel se dividió entre 4 personas, cada uno de ellos obtuvo 1/4 del pastel
Un comerciante vendió 3 metros de un paño fino a 5 personas, cada uno de ellos obtuvo 3/5 de metro.
Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como la división de enteros en el que el denominador es diferente de cero, este conjunto se representa con la letra I.
Las magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción también se consideran números irracionales, por ejemplo el número Pi π=3,141592 que representa la relación de la circunferencia con el diámetro de un círculo.
Así mismo hay radicales o raíces que no se pueden expresar con números enteros como por ejemplo:
Las ecuaciones de segundo grado también se conocen como ecuaciones cuadráticas por lo que cualquiera de las formas en las que se nombren se hace mención al mismo tipo de ecuación.
En definición una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es aquella que se puede escribir de la forma
Siempre y cuando el valor de a sea diferente de cero.
En este caso x es la incógnita, a es conocida como coeficiente cuadrático, b es el coeficiente lineal y c es el término independiente, a, b y c son constantes.
No siempre las ecuaciones de segundo grado se encuentran escritas en su forma general por lo que es necesario aprender a identificar las diferentes formas de escritura.
Se considera una ecuación de segundo grado incompleta cuando el valor del coeficiente lineal o el valor del término independiente es igual a cero, es decir no se encuentra el valor de x sin potencia o no se encuentra una constante c.
En este caso no se encuentra x sin exponente por lo que se puede deducir que el valor del coeficiente lineal b es igual a cero por lo que se consideraría una ecuación de segundo grado incompleta. En este caso las constantes serían:
a= 2
b= 0
c = 4
Este es un caso común en el que la ecuación no se encuentra igualada a cero y tampoco tiene una constante c que acompañe la expresión por lo que se consideraría una ecuación de segundo grado incompleta, si se reorganiza la ecuación a su forma original quedaría expresada como:
Teniendo como valor de los coeficientes:
a=4
b= 6
c=0
Este tipo de ecuación tiene todos los coeficientes diferentes de ceros y se puede escribir de la forma general.
En este caso la ecuación no se encuentra igualada a cero tal y como se ve en la definición de ecuación de segundo grado, sin embargo cumple con todos los requisitos para serlo, haciendo un cambio en el orden de los factores esta ecuación se puede escribir de la forma:
Recuerda que el cambio del signo se debe a que tanto el 6 como la x pasaron de un lado del igual al otro, de este modo se tiene que las constantes en esta ecuación son:
a = 1, como la x al cuadrado no tiene ningún número se deduce que el valor que lo acompaña es 1.
b=1, como la x no tiene ningún número se conoce que el valor que lo acompaña es 1.
c=-6, el valor de c puede tomar valores positivos o negativos.
Identificar cuando una ecuación NO es de segundo grado es muy sencillo debido a que se conoce la forma general que deben tener estas.
En este caso el mayor exponente de la ecuación es un 3, recordemos que una de las características que se deben cumplir para considerarse ecuación de segundo grado es que el mayor exponente debe ser 2.
Para ser considerada una ecuación de segundo grado el valor del exponente 2 debe ser positivo, por lo que en este ejemplo al estar elevado a un exponente negativo no se puede considerar una ecuación de segundo grado.
Las soluciones de una ecuación cuadrática se definen como los valores que toma x para que la igualdad establecida se cumpla, normalmente al estar igualada en su forma general a cero las soluciones se conocen con el nombre de raíces, soluciones o ceros.
De acuerdo con el tipo de ecuación de segundo grado se puede establecer el procedimiento para la solución matemática, la solución gráfica se verá más adelante.
Cuando la ecuación de segundo grado no tiene el coeficiente lineal b queda expresada de la forma
Despejando x se tiene que:
Las ecuaciones de segundo grado incompletas sin coeficiente lineal b tienen solución real siempre y cuando -c/a sea un número positivo, en caso de no ser positivo se tendrá solución en los números imaginarios.
Se desea encontrar el valor de x que cumpla con la ecuación
Teniendo en cuenta el procedimiento anterior se despeja el valor de x:
En este caso se puede evidenciar que la ecuación tiene dos soluciones diferentes, 2 y -2.
Cuando la ecuación de segundo grado no tiene el término independiente c queda expresada de la forma
Despejando x se tiene que:
Para que la igualdad sea igual a cero existen dos posibilidades:
En estos casos se tienen entonces dos soluciones:
Encontrar el valor de x en la ecuación
Teniendo en cuenta el procedimiento de factor común se tiene que las soluciones para esta ecuación son:
Esta ecuación tiene dos soluciones las cuales son x=0 y x=-3.
La forma más sencilla de solucionar ecuaciones completas de segundo grado es utilizando la fórmula cuadrática
El número de raíces o soluciones dependen del discriminante (Δ) que se define como:
Luego, conociendo el discriminante se tienen tres diferentes opciones:
Encontrar el valor de x que cumpla con la ecuación:
Lo primero que se debe realizar es identificar el valor de los coeficientes, en este caso:
a = 1
b= 4
c= 2
Una vez identificados se procede a calcular el determinante (Δ)
En este caso el determinante es mayor que cero por lo que de antemano se conoce que la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones reales que se calculan a través de la fórmula cuadrática.
Debido a que existe el signo ± se deben hacer dos procedimientos por separado, el primero con el signo positivo, luego se procede con el signo negativo para calcular la segunda solución.
De este modo la primera solución es:
La segunda solución es:
En algunos casos la forma más sencilla es factorizar para encontrar los valores de x que permitan cumplir con la igualdad, teniendo en cuenta que la ecuación general de segundo grado se escribe de la forma
Se suponen dos valores que son solución para x, en este caso vamos a suponer que A y B son solución, de este modo la ecuación general se puede escribir como
Para encontrar los valores de una forma sencilla se debe cumplir que:
Veámoslo con un ejemplo, encontrar los valores de x que cumplen con la ecuación
En este caso debemos encontrar dos números que al multiplicarse dan -5 y al sumarse dan -4.
La solución que cumple con esas condiciones son -5 y 1 ya que:
Hay que tener en cuenta que solo hemos encontrado los números A y B, pero lo que nos preguntan son los valores de x para que se cumpla la igualdad, entonces cuando se están multiplicando dos números para que el resultado sea cero es porque uno de los dos tiene como valor cero, en este caso:
Se debe cumplir una de dos condiciones
Si x-5 es igual a cero significa que el valor de x debe ser 5
Si x+1 es igual a cero significa que el valor de x debe ser -1
De este modo se encuentran las dos soluciones de x que serían 5 y -1.
Es tal vez el método más sencillo para la solución de ecuaciones de segundo grado, simplemente se debe ver la gráfica de la ecuación y la solución será el valor de x cuando corta el eje, por ejemplo partiendo de la misma ecuación de segundo grado que factorizamos hace un instante.
Se puede observar de una forma sencilla que la curva que representa la ecuación de segundo grado corta el eje x en los puntos x=5 y x=-1 por lo que se pueden encontrar las soluciones de forma rápida.
En definición una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad algebraica donde las incógnitas (o incógnita) se encuentran a la primera potencia y no hay multiplicación entre ellas, es decir una ecuación que solo presenta sumas y restas entre las variables cuando estas están a la primera potencia.
Las ecuaciones de primer grado de con una incógnita o una variable son todas aquellas que cumplen con la forma:
a debe ser diferente de cero
b y c son dos constantes, es decir números fijos
x es la variable o incógnita, el valor que no conocemos.
Cuando se habla de solucionar una ecuación de primer grado con una incógnita se hace referencia a encontrar el valor de x.
Para ser ecuaciones de primer grado con una incógnita deben cumplir con la forma general, a continuación te presentamos varios ejemplos de ecuaciones con estas características
Esta ecuación cumple con todas las condiciones para ser de primer grado con una incógnita, en este caso:
a=6
b=2
c=8
Esta ecuación cumple con todas las condiciones para ser de primer grado con una incógnita, en este caso:
a=2
b=0
c=7
Como no tiene un número sumando después de la incógnita significa que b es igual a cero ya que 2x+0 = 2x
Esta es una ecuación con dos términos independientes enteros y cumple con todas las condiciones para ser de primer grado con una incógnita, en este caso:
a=1
b=6
c=9
Como x no tiene un número que lo acompañe a es igual a uno ya que 1x = x
Esta ecuación cumple con todas las condiciones para ser de primer grado con una incógnita, en este caso:
a=1/4
b=3/2
c=6
Los números fraccionarios también cumplen con las condiciones para que la ecuación sea de primer grado.
Esta ecuación cumple con todas las condiciones para ser de primer grado con una incógnita, en este caso:
a=5/6
b=35/6 (si quieres saber cómo se llegó a este valor más abajo encontrarás la explicación)
c=9
Las ecuaciones de primer grado pueden tener fraccionarios y paréntesis, el resultado de b se obtiene al solucionar la ecuación, no te preocupes que más adelante te enseñaremos como hacerlo, es muy fácil.
Las ecuaciones de primer grado de primer grado con dos incógnita o dos variable son todas aquellas que cumplen con la forma:
donde
y es una incógnita o valor desconocido
x es una incógnita o valor desconocido
m y b son dos constantes, es decir números fijos
También se pueden tener ecuaciones de primer grado con más incógnitas como se ve a continuación
Si una ecuación presenta multiplicación entre las variables o un exponente diferente en cualquiera de las incógnitas automáticamente deja de ser de primer grado, por ejemplo:
Como el exponente que tiene la incógnita es 2 esta ecuación se considera una ecuación de segundo grado.
Estos son otros ejemplos de ecuaciones que NO son de primer grado
Una ecuación está compuesta por varias partes, estas partes se conocen como elementos de ecuación de primer grado y son:
Se encuentran de la siguiente forma
El procedimiento para resolver una ecuación es sencillo solo depende si tiene paréntesis o denominadores, los pasos son:
Existen ocasiones en las que las ecuaciones de primer grado tienen paréntesis junto con la variable o incluso fuera de ella, independiente sea el caso es necesario «romper» el paréntesis, es decir aplicar la propiedad distributiva que consiste en multiplicar el número fuera del paréntesis por cada uno de los términos de adentro, por ejemplo, encontrar la solución de x:
En este caso se tiene una ecuación con un solo paréntesis, el primer paso es aplicar la propiedad distributiva quedando así:
Recuerda que cuando se multiplica 5/6 por 4 se multiplica el numerador con el número entero y se mantiene el mismo denominador, es decir 5 x 4 / 6 equivalente a 20/6.
Luego de esto se deben sumar los fraccionarios que no tienen una x multiplicándolos, en este caso se deben sumar 20/6 y 5/2, para poder hacerlo se deben igualar los denominadores por lo que 5/2 se escribirá como 15/6 que es un fraccionario equivalente.
Una vez tienen el mismo denominador se suman y quedaría:
Ahora se agrupan los términos que no tienen x separados de los que sí tienen, como al 35/6 lo antecede un signo positivo pasa al otro lado del igual con signo negativo, quedando así:
Nuevamente se igualan los denominadores para poder hacer la resta teniendo:
Se resuelve la resta:
Como en ambos lados la ecuación se encuentra dividida entre 6 se pueden cancelar los denominadores quedando:
Finalmente se despeja x, como 5 está multiplicando pasa al otro lado a dividir:
Encontrando así el valor de la incógnita.
Es importante recalcar que los paréntesis hacen que las ecuaciones tomen otro significado y más cuando se tiene un signo negativo antes del mismo ya que hace que todos los signos cambien, por ejemplo, encontrar el valor de x:
Como vimos en el ejemplo anterior el primer paso es «romper el paréntesis» como hay un signo negativo antes se deben cambiar los signos dentro del paréntesis quedando así:
Luego de esto se agrupan los términos que tienen x, a un lado del igual y los que no tienen al otro lado así:
Recuerda que el signo de la x cambió porque se pasó al otro lado del igual, así como el 1.
Finalmente,
En muchos casos se presentan denominadores cuando requerimos solucionar ecuaciones de primer grado, recuerda que para ser una ecuación de primer grado la incógnita siempre está en el númerador. Por ejemplo, resolver:
En esta ecuación tenemos tres fraccionarios, uno de ellos acompañando a la x y los otros dos sin incógnita, el primer paso es separar a un lado del igual los que tienen incógnita y al otro lado los que no.
Una vez se tienen separados los términos se procede a hacer la operación de los dos fraccionarios que quedaron a la derecha del igual, en este caso como tienen el mismo denominador este valor se mantiene y se restan los numeradores quedando:
Debido a que 8 se puede dividir entre 4 y da un número exacto se procede a realizar la simplificación de ese fraccionario y se obtiene:
Para despejar la x se requiere pasar al otro lado del igual el fraccionario que lo acompaña, en este caso como el 6 está dividiendo pasa a multiplicar, mientras que el 3 que está multiplicando pasa a dividir, quedando:
Para el ejercicio que se planteó el valor de x es 4.
Cuando en una ecuación de primer grado se obtiene como resultado 0=0 significa que dicha ecuación tiene infinitas soluciones, es decir independiente del valor de la incógnita la igualdad siempre se va a mantener, por ejemplo:
El primer paso para resolver la ecuación es ubicar los términos que tienen x a un lado y al otro los que no tienen, quedando:
En este caso cuando se hace la operación tanto a la izquierda como a la derecha de la ecuación se tiene que 2x+x-3x = 0 y -3 -1 + 4 = 0 por lo que se tiene una igualdad 0=0, es decir que tiene infinitas soluciones independiente del valor que se le de a la incógnita, por ejemplo si se asigna un valor de x = 10:
Así mismo sucede si por ejemplo se reemplaza x = 3:
Independientemente del valor que se le asigne a la x siempre se va a cumplir la igualdad cuando una ecuación de primer grado tiene la forma 0=0.
Cuando en una ecuación de primer grado se obtiene como resultado 0= otro valor significa que dicha ecuación no tiene soluciones, es decir independiente del valor que se le asigne a la incógnita nunca va a existir una igualdad, por ejemplo:
Como se vio anteriormente en las ecuaciones de primer grado con paréntesis el primer paso es quitar dicho paréntesis utilizando la propiedad asociativa así:
Luego se agrupan los términos que tienen x a un lado de la igualdad y los que no al otro, quedando:
Al resolver se tiene que:
En ningún caso y bajo ninguna circunstancia 0=-10 por lo que no existe ningún valor de x que permita hacer esta igualdad.
